目次

• 1 はじめに
• 2 マルサスMalthus の法則
  • 2.1 Malthusのモデルの微分方程式
  • 2.2 一般解
  • 2.3 方程式の表す現象を考える
  • 2.4 初期値問題の解
  • 2.5 数値解法 -- Euler法とRunge-Kutta法
  
  
• 3 logistic 方程式
  • 3.1 Malthusのモデルの修正としての logistic 方程式
  • 3.2 初期値問題の解
  • 3.3 解の漸近挙動, 平衡点とその安定性
  
  
• 4 単振動の方程式
  • 4.1 単振動の方程式とは
  • 4.2 単振動の方程式の解
  • 4.3 1階正規形方程式への帰着
  • 4.4 力学系とは
  • 4.5 Python, Julia で数値計算
  
  
• 5 Lotka-Volterraの方程式 (捕食者被食者の数理モデル)
  • 5.1 Lotka-Volterra方程式の勉強のススメ
  • 5.2 Lotka-Volterra方程式
  • 5.3 まずは数値シミュレーション
  • 5.4 解を求めて … まず局所解の存在と一意性
  • 5.5 平衡点とその安定性
  • 5.6 解軌道の方程式, 解が $\mathbb{R}$ 全体に延長できることと中立安定性の証明
  • 5.7 解の周期性
  • 5.8 解の平均値
  • 5.9 1つのルーツの紹介: D'Ancona の疑問と Volterraの回答
  • 5.10 Lotka-Volterra 方程式に続いて -- 生物の競争系のモデル
  
  
• 6 SIRモデル
  • 6.1 感染症の数理モデルとしての SIR モデル
  • 6.2 数値シミュレーション
  • 6.3 数学的解析 (1)
  • 6.4 数学的解析 (2) 無次元化と基本再生産数
  
  
• 7 挑戦課題
  • 7.1 三種競争系
  • 7.2 渦糸の力学系
  • 7.3 メトロノームの同期現象
  
  
• 8 参考書案内
• A. 問題の解答
• B. 常微分方程式の初期値問題の数値シミュレーションの手引き
  • B..1 はじめに
  • B..2 Python によるシミュレーション
  • B..3 Julia によるシミュレーション
  
  
• C. 定数係数線形同次常微分方程式に対する特性根の方法 (素朴な説明)
  • C..1 とりあえず要点を学ぶ
  • C..2 基本的な定理の証明
  • C..3 まとめ
  
  
• D. 初期値問題の基礎理論 (かけ足で説明)
  • D..1 はじめに
  • D..2 解の存在
  • D..3 解の存在範囲 (爆発, 極大延長解)
  • D..4 解の一意性
  • D..5 まとめ
  
  
• E. 初期値問題の解の存在と一意性の証明
  • E..1 Lipschitz条件を仮定する場合
  • E..2 Lipshitz条件を仮定しない場合
  
  
• F. 線形微分方程式の常識
  • F..1 取り扱う方程式
  • F..2 高階微分方程式の1階微分方程式への帰着
  • F..3 解の存在と一意性
  • F..4 同次方程式の解空間は線形空間
  • F..5 線形同次方程式の解の1次独立性, Wronskianによる判定
  • F..6 線形同次方程式の解空間の次元
  • F..7 定数係数高階単独線形常微分方程式
  • F..8 線形非同次方程式の解空間の構造
  
  
• G. 力学系についてのメモ
  • G..1 力学系とは
  • G..2 平衡点とは
  • G..3 平衡点の安定性、漸近安定性
  • G..4 線形安定性解析
  • G..5 復習: 定数係数線形常微分方程式
  
  
• H. 本文中の図の描き方
  • H..1 図1 の描き方
  • H..2 図2の描き方
  • H..3 matplotlib で日本語タイトルを用いる
  
  
• I. 微分多項式についての注意
  • I..1 個人的な見解・意見
  • I..2 高橋 [1] の記述を検討する
  
  
• 参考文献

(しばらく工事中の予定)

書き換えをする。方針は、定義と定理は本文中に書く。