2.2 一般解

この方程式 (F.2) の解を求めるのは簡単である。

$$x(t)=C e^{at} C$$ (2.4)

が方程式 (F.2) の一般解である。

(解答) 次の2つのことが成り立つことを意味している。 なお $\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ のどちらかを表す (考察の対象を実数値関数に限るならば $\mathbb{K}=\mathbb{R}$)。

(a)

任意の $C\in\mathbb{K}$ に対して、 $x(t):=C e^{at}$ で定義した $x(t)$ は方程式 (F.2) を満たす。

(b)

方程式(F.2) を満たす任意の $x(t)$ に対して、 ある $C\in\mathbb{K}$ が存在して、 $x(t)=C e^{at}$ が成り立つ。 $\qedsymbol$

以上の解答の要点として、 マルサスの微分方程式は線形常微分方程式であることがあげられる。