2.1 Malthusのモデルの微分方程式

実変数 $t$ についての未知関数 $x(t)$ について

$$x'(t)=a x(t)$$ (2.1)

という微分方程式を考える。ここで $a$ は実定数であるとする。

この方程式は次のようにも書かれる。

$$\frac{\D x}{\D t}=a x.$$ (2.2)

$a>0$ の場合として、 人口論の マルサスMalthus の法則のモデルがある。

$a<0$ の場合として、放射性元素の崩壊のモデルがある。

用語の確認をしておこう。

• 微分方程式に未知関数の$n$階導関数が現れるが、 $n+1$ 以上の階数の導関数が現れないとき、 その微分方程式は $n$ 階の微分方程式であるという。
• $n$ 階の微分方程式が、$n$ 階導関数について解かれた形 ( $x^{(n)}=f(t,x,x',\cdots,x^{(n-1)})$) をしているとき、 その微分方程式は正規形 (normal form) であるという。

方程式 (F.2) は、1階正規形の微分方程式 (normal form of first order differential equation) である。

一般に、適当な関数 $f=f(x,t)$ を用いて

$$x'(t)=f(x(t),t)$$ (2.3)

の形に表される微分方程式が1階正規形の微分方程式である。 微分方程式についての定理や、 数値計算法の多くがこの形の方程式について説明される。

問     (F.2) の場合に $f$ は何か。