I..2 高橋 [1] の記述を検討する

高橋 [1] p. 39

以下， $\dfrac{\D}{\D t}$ を $D$ と略記する。このとき，

$$(D-\alpha)(D-\beta)u=(D^2-(\alpha+\beta)D+\alpha\beta)u=(D-\beta)(D-\alpha)u$$ (2.7)

が成立する．実際， 左辺$=(D-\alpha)D u-\beta u) =D(D u-\beta u)-\alpha(Du-\beta u)=D^2 u-\beta D u- \alpha D u+\alpha\beta u=$中辺. 対称性より， 中辺$=$右辺．したがって， （7）から帰納的に，次の等式が成立することがわかる：

$$P(D)a\equiv D^n u+c_1 D^{n-1}u+\cdots+c_{n-1}D u+c_n u = (D-\lambda_1)^{n_1}\cdots(D-\lambda_r)^{n_r} u.$$ (2.8)

さらに，この右辺の， $(D-\lambda_p)^{n_p}$ たちの順序を入替えても $P(D)$ に等しい．

これは (i) の解釈をした上で、

$$(D-\alpha)\left((D-\beta)x\right)=P(D)x$$

であることを証明していると考えられる。

このテキストでは、(この後も) 微分多項式は必ず関数に作用させる (右に関数が書いてある) 形で登場し、

$$(D-\alpha)(D-\beta)=f(D)$$

のような関数抜きの式は見当たらない。

$(D-\lambda_r)^{n_r}u$ という式が出て来るが、これはどう解釈すべきだろうか。

$$(D-\lambda_r)^{j+1}u =(D-\lambda_r)\left((D-\lambda)^ju\right)$$   ( $j=1,\cdots,n_r-1$)

により定義するのかな？

当たり前であるが、きちんと書かれている。