I..1 個人的な見解・意見

定数係数線形常微分方程式

$$a_0x^{(n)}(t)+a_1x^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{n-1}x'(t)+a_n x(t)=f(t)$$   ($t\in I$)

について論じるときに ($I$ は $\mathbb{R}$ のある区間)、 微分多項式 (differential polynomial) が導入されることが多い。

微分作用素

$$D:=\frac{\D}{\D t}$$ (I.1)

を導入して、

$$f(\lambda)=a_0 \lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_n \in\mathbb{C}[\lambda], \quad x\in C^{n}(I)$$ (I.2)

に対して

$$f(D)x:=a_0x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}x'+a_n x$$ (I.3)

と定める。 $f(D)x\in C(I)$ であり、 $f(D)\colon C^{(n)}(I)\to C(I)$ とみなせる。

簡単のため、2階微分方程式の場合、

$$(D-\alpha)(D-\beta)x=0$$

という式を考えてみよう。 一見単純ではあるが、何かルールを定めないと解釈にあいまいさのある式である。 実際、次のような複数の解釈が考えられる。

(i)

$$(D-\alpha)\left((D-\beta)x\right)=0$$

と解釈するのか。

(ii)

$f_1(\lambda):=\lambda-\alpha$, $f_2(\lambda):=\lambda-\beta$ として、 $f_1(D)=D-\alpha$ と $f_2(D)=D-\beta$ の積 $f_1(D) f_2(D)$ を適当に定めることにして、

$$\left(f_1(D)f_2(D)\right)x=0$$

と解釈するのか。 $f_1(D) f_2(D)$ としては

(a)

$\left(f_1(D)f_2(D)\right)x=f_1(D)\left(f_2(D)x\right)$ ( $x\in C^{2}(I)$) で定まる $f_1(D)f_2(D)\colon C^2(I)\to C(I)$.

(b)

$f(\lambda):=\lambda^2-(\alpha+\beta)\lambda+\alpha\beta$ (つまり $(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)$ を展開・整理してできる多項式) としたときの $f(D)\colon C^2(I)\to C(I)$.

微分多項式を扱っている常微分方程式のテキスト・解説はたくさんあるけれど、

• どう解釈するのか明言されていないものがある。
• どう解釈するか記されていても、 その後で論理が飛躍していると思われるものがある。

この記号がどのように使われるか、典型例を一つあげてみよう。

$f(\lambda)=\lambda^2+p\lambda+q\in\mathbb{C}[\lambda]$ が $f(\lambda) =(\lambda-\alpha)(\lambda-\beta)$ と因数分解されるとき、 $f(D)x=0$ を満たす $x$ に対して $x_1:=(D-\beta)x$ とおくと

$$(D-\alpha)x_1=(D-\alpha)(D-\beta)x=f(D)x=0$$

が成り立つので、ある定数 $C$ が存在して $x_1(t)=Ce^{\alpha t}$ が成り立つ。

これを見ると $(D-\alpha)\left((D-\beta)x\right)$ としているように思われるので、 解釈 (i) が有望そうであるが、それを $f(D)x$ に等しいとしているので、 $(D-\alpha)(D-\beta)=f(D)$ とみなしているようでもある。

どのように定義するかは、正しい答えが一つだけある、 というのではないことに注意しよう。 数学の概念の多くは、複数の仕方で定義することが出来て、 ある流儀で定義したとき、 別の流儀の定義に現れる式が定理となったりする。 全体として同じことができれば構わない。