D..5 まとめ

$1$ 階正規形常微分方程式の初期値問題

$$x'=f(t,x),\quad f(t_0)=x_0$$

については、

(1)

$f$ が連続でありさえすれば、 $(t_0,x_0)$ の十分近くで解は存在する (局所解が存在する)。

(2)

$f$ が $C^1$ 級であれば、解は一意である。

(3)

$f$ が $C^1$ 級であっても爆発という現象がありうる。 $x$ に関するリプシッツ条件

$$\left\vert f(t,x_1)-f(t,x_2)\right\vert\le L \vert x_1-x_2\vert$$   $$\mbox{($L$\ は定数)}$$

が成り立てば爆発は起こらない。 特に有界な係数を持つ線形方程式では爆発は起こらない。