F..5 線形同次方程式の解の1次独立性, Wronskianによる判定

(F.5) の解空間の次元は$n$ であることを証明することが 大事な目標であるが、 まず1次独立性(線形独立性)の定義を想い出そう。

線形空間 $X$ の要素 $\varphi_1$, $\cdots$, $\varphi_n$が1次独立であるとは

$$(\forall c_1,\cdots,c_n\in\mathbb{R})\quad \left[ c_1\varphi_1+\cdots+c_n \varphi_n=0\THEN c_1=\cdots=c_n=0 \right]$$ (F.6)

が成り立つことをいう。

$\bm{\varphi}_1$, $\cdots$, $\bm{\varphi}_n$ が 線形同次微分方程式 $\bm{x}'(t)=A(t)\bm{x}(t)$ ($t\in I$) の解である場合は、

$$c_1\bm{\varphi}_1+\cdots+c_n \bm{\varphi}_n=\bm{0}$$

は

$$(\forall t\in I)\quad c_1\bm{\varphi}_1(t)+\cdots+c_n\bm{\varphi}_n(t)=0$$ (F.7)

を意味する。このことは容易に理解できるが、 この条件 (無限個の $t$ について等式が成り立つ)を確認するのは、 一見してそれほど簡単でないように思われるかもしれない。 実は、 この後紹介する定理 F.3 によると、 線形同次微分方程式 $\bm{x}'(t)=A(t)\bm{x}(t)$ の $n$ 個の解 $\bm{\varphi}_1$, $\cdots$, $\bm{\varphi}_n$ に対しては、 任意に選んだ1つの$t_0\in I$ に対して

$$c_1\bm{\varphi}_1(t_0)+\cdots+c_n\bm{\varphi}_n(t_0)=\bm{0} \THEN c_1=\cdots=c_n=0$$

$$\bm{\varphi}_1 \cdots \bm{\varphi}_1 \mathbb{R}^n$$

が成り立つことを確認すれば良い。

証明. (F.9) を証明しよう。 行列 $\Phi(t)$ の第 $(i,j)$ 成分を $\varphi_{ji}(t)$ と表すことにする ($i$ 番目の解であるベクトル値関数 $\bm{\varphi}_i$ の第$j$成分である -- $\varphi_{ji}'(t)=\dsp\sum_{k=1}^n a_{jk}\varphi_{ki}$ ( $1\le j\le n$) が成り立つことに注意する)。

$$W'(t) =\frac{\D}{\D t} \left\vert \begin{matrix}\varphi_{11} & \varphi_... ...\\ \varphi_{11} & \varphi_{12} & \cdots & \varphi_{1n} \end{matrix} \right\vert$$

$$= \left\vert \begin{matrix}\varphi_{11}' & \varphi_{12}' & \cdots... ...\varphi_{1n}' & \varphi_{1n}' & \cdots & \varphi_{nn}' \end{matrix} \right\vert$$

$$=\left\vert \begin{matrix}\dsp\sum_{k=1}^n a_{1k}\varphi_{k1} & \... ...\\ \varphi_{n1} & \varphi_{n2} & \cdots & \varphi_{nn} \end{matrix} \right\vert$$

$$\qquad\qquad+\cdots +\left\vert \begin{matrix}\varphi_{11} & \var... ...phi_{k2} & \cdots & \dsp\sum_{k=1}^na_{nk}\varphi_{kn} \end{matrix} \right\vert$$

$$=\left\vert \begin{matrix}a_{11}\varphi_{11}&a_{11}\varphi_{12}&\... ...\\ \varphi_{n1} & \varphi_{n2} & \cdots & \varphi_{nn} \end{matrix} \right\vert$$

$$\qquad\qquad+\cdots +\left\vert \begin{matrix}\varphi_{11} & \var... ...n1} & a_{nn}\varphi_{n2} & \cdots & a_{nn}\varphi_{nn} \end{matrix} \right\vert$$

$$=\left(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\right) \left\vert\begin{matrix... ...\\ \varphi_{n1} & \varphi_{n2} & \cdots & \varphi_{nn} \end{matrix} \right\vert$$

$$=\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits A(t) \cdot W(t).$$

(F.9) を解けば (G.3) が得られる。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

この定理から $W(t)$ について、

(a)

任意の $t$ に対して $W(t)=0$ であるか

(b)

任意の$t$ に対して $W(t)\ne 0$ であるか

どちらか一方のみが成り立つが成り立つことが分かる。 ゆえに、ある $t_0\in I$に対して、 $\bm{\varphi}_1(t_0)$, $\cdots$, $\bm{\varphi}_n(t_0)$ が $\mathbb{R}^n$ の1次独立なベクトルならば、

$$W(t_0)\ne 0.$$

(a) が成り立たないので、(b) が成り立つ。すなわち任意の $t\in I$ に対して

$$W(t)\ne 0.$$

これは $\bm{\varphi}_1(t)$, $\cdots$, $\bm{\varphi}_n(t)$ が $\mathbb{R}^n$ の1次独立なベクトルであることを意味する。