F..5.1.2 (i) $\THEN$ (ii) の証明:

(i) を仮定すると、 任意の $\bm{c}\in\mathbb{K}^n\setminus\{\bm{0}\}$ に対して $\dsp\sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t_0)\ne\bm{0}$. 初期値問題の解の一意性から、 任意の $t\in I$ に対して $\dsp\sum_{i=1}^nc_i\bm{\varphi}_i(t)\ne\bm{0}$. ($\because$ ある $t_1\in I$ で $\dsp\sum_{i=1}^nc_i\bm{\varphi}_i(t_1) =\bm{0}$ となるならば、$t=t_1$ を初期時刻とした初期値問題を考えて、 任意の $t\in I$に対して $\dsp\sum_{i=1}^nc_i\bm{\varphi}_i(t) =\bm{0}$ が導かれて矛盾が生じる。) ゆえに

$$(\forall t\in I)(\forall \bm{c}\in\mathbb{K}^n\setminus\{\bm{0}\}) \sum_{i=1}^n c_i\bm{\varphi}_i(t)\ne\bm{0}$$

が成り立つ (2つの $\forall$ の順番を入れ替えただけ)。 すなわち (ii) が成り立つ。