F..4 同次方程式の解空間は線形空間

特に $\bm{f}=\bm{0}$の場合、

$$\frac{\D}{\D t}\bm{x}(t)=A(t)\bm{x}(t) t\in I$$ (F.5)

を線形同次方程式と呼ぶ。

この微分方程式の解全体の集合 (以下では解空間と呼ぶ)

$$V:=\left\{\bm{\varphi}\relmiddle\vert\bm{\varphi}'(t)=A(t)\bm{\varphi}(t) \quad\text{($t\in I$)} \right\}$$

は、通常の関数の和・スカラー積の定義のもとで線形空間をなす。 実際 $\bm{\varphi}_1,\bm{\varphi}_2\in V$ とするとき、 任意の $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ に対して $\bm{\varphi}:=c_1\bm{\varphi}_1+c_2\bm{\varphi}_2$ とおくと

$$\bm{\varphi}'(t) =\frac{\D}{\D t}\left(c_1\bm{\varphi}_1(t)+c_2\bm{\varphi}_2(t)\r... ...'(t)+c_2\bm{\varphi}_2'(t) =c_1 A(t)\bm{\varphi}_1(t)+c_2 A(t)\bm{\varphi}_2(t)$$

$$=A(t)\left(c_1\bm{\varphi}_1(t)+c_2\bm{\varphi}_2(t)\right) =A(t)\bm{\varphi}(t)$$

であるから、 $\bm{\varphi}\in X$.