F..3 解の存在と一意性

任意の初期値 $\bm{\xi}$に対して、 初期値問題 (F.1), (F.2) の一意的な解 $\bm{x} \in C^{1}(I)$ が存在する。実際

$$\bm{F}(t,\bm{x}):=A(t)\bm{x}+\bm{f}(t)$$   ($t\in I$, $\bm{x}\in\mathbb{R}^n$)

とするとき、$I$ に含まれる任意のコンパクト区間 $K$ に対して

$$\left\Vert \bm{F}(t,\bm{x}_1)-\bm{F}(t,\bm{x}_2) \right\Vert \... ...bm{x}_1-\bm{x}_2\right\Vert,\quad L:=\max_{t\in K}\left\Vert A(t) \right\Vert$$

ゆえに $\left.\bm{F}\right\vert _{K\times\mathbb{R}^n}$ は、 連続かつ $\bm{x}$ について Lipschitz 条件を満たす。 ゆえに $t\in K$ で解が存在し、一意的である。 $K$ の任意性から、$t\in I$ で解が存在し、一意的である。