F..2 高階微分方程式の1階微分方程式への帰着

1次元$n$階線形微分方程式

$$x^{(n)}(t)+a_1(t)x^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{n-1}(t)x'(t)+a_n(t)x(t)=f(t) t\in I$$ (F.3)

と初期条件

$$x(t_0)=\xi_1,\quad x'(t_0)=\xi_2,\quad \cdots x^{(n-1)}(t_0)=\xi_n$$ (F.4)

を考えよう。

ここで $a_j$ ( $j=1,\cdots,n$) と $f$ は $I$ で連続な実数値関数、 $\bm{\xi}=(\xi_1,\cdots,\xi_n)\in\mathbb{R}^n$とする。

$$\bm{x}(t):= \begin{pmatrix} x(t)\\ x'(t) \\ \vdots \\ x^{(n-1)}... ...ix},\quad \bm{f}(t):= \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(t) \end{pmatrix}$$

とおくと、(F.5) は $n$次元の1階線形微分方程式 (F.1) に、また (F.4) は (F.2) に帰着される。