G..4 線形安定性解析

(G.1) の平衡点 $a$ の安定性の判定法として、 次の定理が使われることが非常に多い。

「ヤコビ行列って何ですか？」 (学生が持っている教科書の索引にヤコビ行列がない…ぶつぶつ ) $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $a\in\Omega$, $f\colon\Omega \to\mathbb{R}^m$ は微分可能とするとき、 $f$ の $a$ におけるヤコビ行列とは、$m\times n$ 型の 行列

$$f'(a)=\left(\frac{\rd f_i}{\rd x_j}(a)\right)$$

のことをいう。

力学系 $\frac{\D x}{\D t}=f(x)$ においては $m=n$ であることに注意しよう (微分方程式の左辺は $n$ 次元, 右辺は $m$ 次元で、それが一致するから)。 ゆえに $f'(a)$ は $n$ 次正方行列で、 (重複度を込めて数えて) $n$ 個の固有値を持つ。 行列 $f'(a)$ の成分は実数であるが、固有値には虚数が現れることもある。

この定理が、$n=1$ の場合にも使えることを注意しておく。 $n=1$ のとき、$f$ の $a$ におけるヤコビ行列は、 $f$ の $a$ における微分係数 $f'(a)\DefEq \dsp\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ そのものである。 またその固有値は、$f'(a)$ (これは実数) である (一般に実数 $A$を、$1\times 1$ 型の実行列とみなすとき、 $Ax=\textcolor{red}{A}x$ が $x=1$ に対して成り立つので、 $\textcolor{red}{A}$ は $A$ の固有値で、$1$ が固有ベクトルである。)。

ゆえに、定理を $n=1$ の場合に限定すると、 「$f'(a)<0$ ならば $a$ は漸近安定、$f'(a)>0$ならば $a$ は不安定」 ということになる。

定理が成り立つのを納得したい、という人に向けて: $f$ が $a$ で微分可能であるとは

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{\left\Vert x-a\right\Vert}=0$$

が成り立つことを意味する。ゆえに、$x$ が $a$ に近いとき

$$f(x)\kinji f'(a)(x-a)+f(a)$$

が成り立つということは知っていると思う ($m=n=1$ ならば、 関数のグラフは、その接線のグラフに近い、ということ)。 $a$ が平衡点であれば $f(a)=0$であるから

$$f(x)\kinji f'(a)(x-a)$$

ということになる。 すると微分方程式は

$$\frac{\D x}{\D t}(t)=f'(a)(x(t)-a)$$

で近似できる。

$$\widetilde{x}(t):=x(t)-a,\quad A:=f'(a)$$

とおくと

$$\frac{\D\widetilde{x}}{\D t}(t)=A\widetilde x(t).$$ (G.2)

これは定数係数線形常微分方程式と呼ばれる方程式である。 これについての “常識的事項” を知ると、 上の定理が感覚的に納得できると思われるので、 次項にまとめておく。