5.5 平衡点とその安定性

微分方程式 (C.17) の平衡点を求めよう。 $\bm{f}(\bm{x})=\bm{0}$, つまり

$$ax-bxy=0,\quad -cy+dxy=0$$

を解くことになる。結果は

$$\bm{x}=(0,0),\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right).$$ (5.4)

$(0,0)$ はどちらの種もいない場合で、ある意味ナンセンス (興味がない) であるが、 $\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right)$ は2つの種が共存している場合である。 念のため意味を述べておくと、

$$\bm{x}(t)=\begin{pmatrix}\dfrac{c}{d}\\ [2ex] \dfrac{a}{b} \end{pmatrix} \quad\text{($t\in\mathbb{R}$)}$$

は (C.17) の解である。 被食者は捕食者に食べられる分だけ生まれてきて、 捕食者は被食者を食べて生まれる分だけ自然死する、 というバランスの取れている状態である。

一般に微分方程式の平衡点の安定性を調べるため、 線形安定性解析が使われることが多い。 これは微分方程式 $\bm{x}'(t)=\bm{f}(\bm{x}(t))$ の右辺に現れる関数 $\bm{f}(x)$ の (平衡点 $\bm{x}_0$における) ヤコビ行列 $\bm{f}'(\bm{x}_0)$ の固有値の実部の符号を調べて判定する、 という方法である。 より詳しくは付録 G.4 を見よ。

必修課題 5.5.1   ヤコビ行列 $\bm{f}'(0,0)$, $\bm{f}'\left(\frac{c}{d}, \frac{a}{b}\right)$ とその固有値を求めて、それらの実部の符号を調べよ。

$\bm{f}'\left(0,0\right)$ は正の固有値を持つので、 $(0,0)$ は不安定である。

$\bm{f}'\left(\frac{c}{d}, \frac{a}{b}\right)$ の固有値の実部は、どちらも 0 である。 残念ながら、線形安定性解析では、 $\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right)$ は 漸近安定であるとも不安定であるとも結論できない。

Lotka-Volterraの方程式の場合は、 解軌道の方程式を求める (次項で実行する) ことによって、 平衡点の中立安定性が証明できる。