5.6 解軌道の方程式, 解が $\mathbb{R}$ 全体に延長できることと中立安定性の証明

まず、実は少し問題含みであるけれど、多くのテキストに載っていて、 見通しのよい議論を紹介する。

$$\frac{\D y}{\D x}=\frac{\dfrac{\D y}{\D t}}{\dfrac{\D x}{\D t}} =\frac{-cy+dxy}{ax-bxy} =\frac{y(dx-c)}{x(a-by)}.$$

これは変数分離形の方程式であるから、いつもの手順で解くことができる。 まず

$$\frac{a-by}{y}\;\D y=\frac{dx-c}{x}\;\D x$$

としてから両辺を積分して

$$\int \frac{a-by}{y}\;\D y=\int \frac{dx-c}{x}\;\D x.$$

途中を省略して

$$\frac{y^a}{e^{by}}\frac{x^c}{e^{dx}}= .$$ (5.5)

以上の議論は分かりやすいが、いくつか問題がある。

• 割り算をするので、分母は0にならないのか？というツッコミがありうる (変数分離形微分方程式を解くときに良く出て来る話)。 これはそれほど難しくなく解決できる (定理5.2)。
• $\frac{\D y}{\D x}$ を考えるということは、 $y$ を $x$ の関数とみなしていることになる。 そうみなせる根拠は何だろう。実は、それは局所的にしか成り立たないことで、 厳密には正しくないことが分かる (数値シミュレーションで求めた解軌道 (図6 など) を思い出すと、 1つの$x$に$2$つの$y$が対応するのが普通であるから)。 まあ、発見的考察をしただけであって、うるさいことを言うな、 という意見はありうる。実際、 (C.4) という式を見つけてしまえば、 任意の解 $(x(t),y(t))$ に沿って $\dfrac{y(t)^a x(t)^c} {e^{by(t)}e^{dx(t)}}$ が定数であることが、 $t$ で微分することで示せる。

まず分母0の問題を片付けよう。次の定理が成り立つ。

発見的考察、というのをやろう。 $x=0$ を (形式的に) (C.17) に代入すると

$$\frac{\D x}{\D t}=0,\quad \frac{\D y}{\D t}=-cy.$$

これを眺めれば、$x(t)=0$, $y(t)=y(0)e^{-ct}$ という解を発見できる (代入して (C.17) の解であることが、 すぐ確認できる。 直観的には「被食者がいなければ捕食者は死に絶える」ということである。)。 「$y$ 軸の正の部分は解軌道である」ということが分かった。

同様に $y=0$ から $y(t)=0$, $x(t)=x(0)e^{at}$ という解を発見できる (「捕食者がいなければ被食者は限りなく増え続ける」ということである)。 「$x$ 軸の正の部分は解軌道である」ということが分かった。

最後に、原点は平衡点であるから、原点1点からなる集合は解軌道である。

課題 5.6.1   定理5.2を証明せよ。 (ヒント: 第1象限は解軌道で囲まれていることが分かった。 〆は背理法と解の一意性定理を用いる。)

以下、$x(0)>0$, $y(0)>0$である解だけを考えることにすると、 $x(t)>0$, $y(t)>0$. ゆえに $x(t)\ne 0$, $y(t)\ne 0$ である。 微分方程式から

$$\frac{\D x}{\D t}(-cy+dxy) =(ax-bxy)(-cy+dxy) =(ax-bxy)\frac{\D y}{\D t}$$ (5.6)

である。この式を$xy$ で割り算することに問題はない。

$$\frac{a-by}{y}\frac{\D y}{\D t}=\frac{dx-c}{x}\frac{\D x}{\D t}.$$ (5.7)

ゆえに、解が時刻 $t^\ast$ まで存在するならば

$$\int_0^{t^\ast} \frac{a-by}{y}\frac{\D y}{\D t}\Dt = \int_0^{t^\ast} \frac{dx-c}{x}\frac{\D x}{\D t}\Dt.$$

置換積分の公式から

$$\int_0^{y(t^\ast)}\frac{a-by}{y}\D y = \int_0^{x(t^\ast)}\frac{dx-c}{x}\D x.$$

これで上の議論に合流できて (簡単のため $x(t^\ast)$, $y(t^\ast)$ を単に $x$, $y$ と書くことにすると)

$$\frac{y^a}{e^{by}}\frac{x^c}{e^{dx}}= .$$ (5.8)

関数 $F(x,y):=\dfrac{x^cy^a}{e^{by+dx}}$ は、第1象限ではつねに正の値を取り $(x,y)=(c/d,a/b)$ のとき最大値を取る。 $(x,y)$ を $x$ 軸や $y$ 軸上の点に近づけると、 $F(x,y)\to 0$.

$0<L<F(c/d,a/b)$ を満たす任意の $L$ に対して、

$$F(x,y)=L$$ (5.9)

は閉曲線を表す (コンピューターで描いてみることを薦める)。 とりあえずこのことは認めることにしよう。

(もちろん図を描けば「明らか」である。証明できた人はレポートしよう。)

(5.9) が解軌道を表す方程式である。 後で、 $(x(t),y(t))$ は周期関数で、 方程式の定める閉曲線の周りをぐるぐる回る (ゆえに解軌道は閉曲線に一致する) ことが分かるが、 現時点では解が存在する任意の時刻 $t$ で、 $(x(t),y(t))$ がその曲線の上にあることだけが分かっている。

課題 5.6.2 (自力で解くのは難しいかも¹³)   解が $\mathbb{R}$ 全体で存在する (任意の時刻 $t$ で $x(t)$, $y(t)$ が定まる) ことを示せ。

(ヒント: 色々なやり方があると思われるが、一つの方針を示す。 背理法を用いる。 解がある有限の $T$ に対して、 $[0,T)$ まで存在するが、$T$ を超えては延ばせないと仮定する。 得られた解軌道の方程式から、任意の解軌道は有界であることが分かる。 それから、任意の解軌道の上で $\bm{f}$ が有界であると分かる。 それから極限 $\dsp\lim_{t\to T-0}(x(t),y(t))$ が存在することが導かれる。 そうすると解は $t=T$ まで延長され、 さらに $T$ を超えて延長できることが導かれる。 これは背理法の仮定に矛盾する。ゆえに $[0,+\infty)$ で解が存在する。 -- 桂田 [22] §8.3 に少し書いておいた。)

課題 5.6.3   平衡点 $\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right)$ は中立安定であることを 証明せよ。