C..1 とりあえず要点を学ぶ

$p$, $q$ を複素数の定数とする。 (実数だけで話が完結する場合もあるが、煩雑になるので、 まずは $p$, $q$ が複素数であり、解も複素数値の関数を認めた場合について述べる。)

$$x''(t)+p x'(t)+q x(t)=0.$$ (C.1)

2次方程式

$$\lambda^2+p\lambda+q=0$$ (C.2)

を微分方程式 (C.1) の特性方程式と呼ぶ。 特性方程式の根 (解) のことを特性根と呼ぶ。

カタい言い回しをすると、 「(C.1) の解空間 (解全体の集合) は、 2次元の線形空間で、 基底 (解の基本系)として $e^{\alpha t}$, $e^{\beta t}$ が取れる」となる。 特に

   (C.1) の解空間$$= \left\{C_1e^{\alpha t}+C_2e^{\beta t}\relmiddle\vert C_1,C_2\in\mathbb{C}\right\}$$

である。

$p$, $q$ が実数の場合、特性根$\alpha$, $\beta$が虚数ならば、 それらは互いに共役複素である。すなわち、 実数 $a$, $b$ ($b\ne 0$) が存在して

$$\alpha=a+ib,\quad \beta=a-ib.$$

このとき (C.4) が一般解であるのは すでに述べた通りだが、

$$x(t)=C_1 e^{a t}\cos bt+C_2 e^{a t}\sin bt C_1 C_2$$ (C.3)

も(C.1) の一般解である。 特に $C_1$, $C_2$ として実数のみを選ぶと、 (C.1) の実数値関数の解すべてを 表すことができる。

以上の話は、一般の自然数 $n$ に対する $n$ 階方程式

$$x^{(n)}+p_1 x^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}x'+p_n x=0 p_1 \cdots p_{n-1} p_n$$ (C.4)

の場合まで一般化される。

例えば $n=1$ の場合、すなわち

$$x'+p x=0 p$$ (C.5)

の場合は、特性方程式は $\lambda+p=0$ であるから、 特性根は $\lambda=-p$ であり、

$$x(t)=C e^{-p t}$$   ($C$ は任意定数)$$.$$

は (C.9) の一般解である。

例えば $n=3$ の場合、すなわち

$$x'''+p x''+q x'+r x=0 p q r$$ (C.6)

の場合、特性方程式は $\lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r=0$. その根を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とする。

(i)

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ がすべて相異なるならば

$$x(t)=C_1 e^{\alpha t}+C_2 e^{\beta t}+C_3 e^{\gamma t}$$   ($C_1$, $C_2$, $C_3$ は任意定数)

は (C.9) の一般解である。

(ii)

$\alpha=\beta\ne\gamma$ (二重根の場合) ならば

$$x(t)=C_1 e^{\alpha t}+C_2 t e^{\alpha t}+C_3 e^{\gamma t}$$   ($C_1$, $C_2$, $C_3$ は任意定数)

は (C.9) の一般解である。

(iii)

$\alpha=\beta=\gamma$ (三重根の場合) ならば

$$x(t)=C_1 e^{\alpha t}+C_2 t e^{\alpha t}+C_3 t^2 e^{\alpha t}$$   ($C_1$, $C_2$, $C_3$ は任意定数)

は (C.9) の一般解である。

(iv)

$\alpha=a+ib$, $\beta=a-ib$ ( $a,b\in\mathbb{R}$, $b\ne 0$) ならば

$$x(t)=C_1 e^{a t}\cos bt+C_2 e^{a t}\sin bt+C_3 e^{\gamma t}$$   ($C_1$, $C_2$, $C_3$ は任意定数)

は (C.9) の一般解である。