2.4 初期値問題の解

一般に微分方程式の解は無数に存在するが、 何か条件を加えると解が一つに確定することが多い。 代表的なものに (初期条件を加えた) 初期値問題がある。

次の (F.6a), (F.6b) を満たす $x=x(t)$ を求めよ、という問題は初期値問題である。 (F.6b) が初期条件である。 $x_0$ は初期値, $t_0$ は初期時刻と呼ばれる。

この初期値問題の解は

$$x(t)=x_0 e^{a(t-t_0)}$$ (2.6)

である (「解は…である」で、 「解がただ一つ存在する」ということを同時に主張している)。

一般に微分方程式の解のグラフのことを、 解曲線 (solution curve) または積分曲線 (integral curve) と呼ぶ⁵。 後で出て来る解軌道と混同しないように注意が必要である。

図 1: 色々な初期値に対する解曲線 (解のグラフ)

必修課題 2.4.1   図1 のような解のグラフを描け (方法は何でもOK)。

付録H.1 にこの図をどう描いたか説明してある。

式変形で方程式を解いて公式が得られる場合、 しばしば一意性 (それ以外に解がないこと) の証明にもなっているが、 変数分離形微分方程式の解法では、 割り算するところがあらわれ、 分母が0となるケースを除外して計算を進めるので、 一意性の完全な証明にはならない。