6.1 感染症の数理モデルとしての SIR モデル

感染症の数理モデルとして一躍有名になった SIRモデルは、 Kermack-McKendrick [19] (1927年) で提唱された (その基本的な部分は佐藤 [44] で読解されていて参考になる)。 感染症の数理の定番のテキストである稲葉他 [44] には、 COVID-19で広く知られることとなった西浦博氏の解説が含まれている。 また 2020年暮れに出版された [44]の増補版には、 國谷・稲葉による「COVID-19 の数理モデル解析」という章が加筆されている。

書籍でも論文でもないが、ネット (Newsweek) で公開された

西浦博（北海道大学大学院医学研究院教授）
【特別寄稿】「8割おじさん」の数理モデルとその根拠──西浦博・北大教授
THE NUMBERS BEHIND CORONAVIRUS MODELING
2020年6月11日（木）17時00分
https://www.newsweekjapan.jp/stories/world/2020/06/8-39.php

は目を通すことを勧める (有名な「何も対策しなければ42万人死亡する」という話の根拠が説明されている)。 日本のCOVID-19の実データとの照らし合わせは、 神永 [22] に載っている (プログラムが紹介されている)。

SIRモデルでは、全人口を、

(1)

感受性者 (susceptible. まだ感染しておらず、免疫を持たないので、 感染者との接触により感染する可能性がある)

(2)

感染者 (infectious. 感染してまだ治っておらず、 接触することで感受性者を感染させる可能性がある)

(3)

除去者 (removed. 以前は感染していたが、回復したり死亡したり隔離されたりして、 もう人に移す可能性がなくなった、あるいは免疫を持つ者 -- オリジナルのモデルでは回復者 (recovered) とされていた)

の3つに分類する。

各時刻 $t$ におけるそれらの人数を $S(t)$, $I(t)$, $R(t)$ と表すことにする。 適当な仮定をおくと (これについては調べ物課題とする)、 次の微分方程式を満たすことが分かる。

ここで $\beta$, $\gamma$ は正の定数である。 例えば、$S$, $I$, $R$ の単位を人、時間の単位を日とすると、 $\beta$ の単位は 人$^{-1}$日$^{-1}$, $\gamma$ の単位は 日$^{-1}$ である。 $\beta$ のことを(感染)伝達係数 (transmission coefficient), $\gamma$ のことを回復率 (recovery rate) あるいは隔離率という。 $\gamma$ は “平均感染性期間” ($D$ と書かれることが多い) の逆数である。