C..3 まとめ

$y''+p y'+q y=0$ ($p$, $q$ は定数) の 一般解は次のように求まる。

(i)

$\lambda^2+p\lambda+q=0$ が相異なる $2$ 根 $\alpha$, $\beta$ を持 つならば、

$$y=A e^{\alpha x}+B e^{\beta x}$$   $$\mbox{($A$, $B$\ は任意定数)}$$$$.$$

(ii)

$\lambda^2+p\lambda+q=0$ が重根 $\alpha$ を持つならば、

$$y=A e^{\alpha x}+B x e^{\alpha x}$$   $$\mbox{($A$, $B$\ は任意定数)}$$$$.$$

(iii)

$p$, $q$ が実定数で、 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ が虚根 $a+ib$ ($a$, $b\in\mathbb{R}$; $b\ne 0$) を持つならば、

$$y=C_1 e^{a x}\cos bx+C_2 e^{a x}\sin b x$$   $$\mbox{($C_1$, $C_2$\ は任意定数)}$$$$.$$

このように $2$ 階方程式の一般解は、 適当な二つの関数 $\varphi_1$, $\varphi_2$ を用いて、

$$y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)$$   $$\mbox{($C_1$, $C_2$\ は任意定数)}$$

と書ける場合がしばしばあるが、 このとき $\varphi_1$, $\varphi_2$ を 基本解 (fundamental solution) とよぶ。 つまり

1. 特性方程式が相異なる $2$ 根 $\alpha$, $\beta$ を持つ場合、 $e^{\alpha x}$, $e^{\beta x}$ は基本解
2. 特性方程式が相異なる重根 $\alpha$ を持つ場合、 $e^{\alpha x}$, $x e^{\alpha x}$ は基本解
3. 特性方程式が互いに複素共役である 虚根 $a\pm i b$ を持つ場合、 $e^{a x}\cos bx$, $e^{a x}\sin bx$ は基本解