C..2.5.4 [ $e^{ax}\cos (bx)$, $e^{ax}\sin (bx)$ の$1$独立性]

定数 $A$, $B$ について

$$Ae^{ax}\cos(bx)+Be^{ax}\sin(bx)=0$$

が成り立ったとする。$x=0$ を代入して

$$A=0.$$

また、微分してから $x=0$ を代入して

$$Aa+Bb=0.$$

仮定 $b\ne 0$ に注意すると $A=B=0$ が示せる。 ゆえに $e^{ax}\cos (bx)$, $e^{ax}\sin (bx)$ は1次独立である。(証明終)

線形代数を応用すると、計算があまり必要のない証明が得られ、見通しが良くなる。 例えば、 $n$ 階線形同次方程式の解空間が$n$次元線形空間であることが一般的に示される。 それが分かれば、1時独立な解が$n$個求まれば、 それが基底であることがすぐ結論でき、一般解が得られる。 (補足終)