C..2.5.3 [任意の解は $e^{ax}\cos (bx)$, $e^{ax}\sin (bx)$ の$1$次結合で書ける]

命題C.8 より、 (C.11) の任意の解 $y$ に対して、ある定数 $A$, $B$ が存在して $y=A e^{(a+ib)x}+B e^{(a-ib)x}$ が成り立つ。

$$A e^{(a+ib)x}+Be^{(a-ib)x} =(A+B)e^{ax}\cos(bx)+i(A-B)e^{ax}\sin(bx)$$

であるから、$y$ は $e^{ax}\cos (bx)$, $e^{ax}\sin (bx)$ の$1$次結合で書ける。