C..2.5.2 初等的な証明

まず、任意の定数 $A$, $B$ に対して

$$y=Ae^{ax}\cos(bx)+Be^{ax}\sin(bx)$$

で定義された $y$ が、 微分方程式 (C.11) の解であることを示そう。

$$y''+p y'+qy = e^{ax} \left[ A(a^2-b^2+ap+q)+B(bp+2ab) \right]\cos(bx)$$

$$+e^{ax} \left[ B(a^2-b^2+ap+q)-A(bp+2ab) \right]\sin(bx)$$

$\lambda=a\pm i b$ が $\lambda^2+p\lambda+q=0$ を満たすことから

$$a^2-b^2+ap+q=0\land 2ab+bp=0$$

が得られる。ゆえに $y''+p y'+q y=0$ が成り立つ。