3.2 初期値問題の解

(C.22) に加えて、初期条件

$$x(0)=c$$ (3.3)

を課した初期値問題の解は次式で与えられる。

$$x(t)=\frac{kc}{\lambda c+(k-\lambda c)e^{-kt}}.$$ (3.4)

必修課題 3.2.1 (C.22)   は変数分離形の微分方程式であるから、 よく知られた方法で解くことができる。それを実行して、 (G.3) が正しいことを確認せよ。

しばらく (とりあえず) $c$ は実数の定数としておく (人口の場合、負の数はナンセンスであるが)。

細かい話 (解の存在範囲) -- 最初はスルーしても良いです

     $0\le c\le\dfrac{k}{\lambda}$ の場合、 (G.3) の分母は 0 にならないが、 そうでない場合は、 分母は $t_\ast:=-\dfrac{1}{k}\log\dfrac{\lambda c}{\lambda c-k}$ のとき (のみ) 0 になる。 $t_\ast$ の符号を調べると、次のことが分かる。

(i)

$0\le c\le\dfrac{k}{\lambda}$ の場合、 初期値問題の解の存在範囲は $\mathbb{R}$.

(ii)

$c>\dfrac{k}{\lambda}$ の場合、 初期値問題の解の存在範囲は $\left(t_\ast,+\infty\right)$. $t_\ast<0$ であるので $[0,+\infty)$ を含む。

(iii)

$c<0$ の場合、 初期値問題の解の存在範囲は $\left(-\infty,t_\ast\right)$. $t_\ast>0$ であるので $[0,+\infty)$ を含まない ($t=+\infty$ までは解が延長されない)。

(生物の個体数を考えるときは、$c<0$ はナンセンスな初期値なので、 (iii) の場合に$t$の範囲に限界があることはあまり問題にされない。)

必修課題 3.2.2   $\lambda$, $k$ を適当に決めて、 色々な $c$ に対する解のグラフ (横軸 $t$, 縦軸 $x$) を1つの図に描け。 (注: $c<0$, $c>\frac{k}{\lambda}$ の場合も含めること。)