6.3 数学的解析 (1)

数学的解析もしてみよう。 やってみると、Lotka-Volterra 方程式の時と同じようなところも多い。

Lotka-Volterra の方程式の場合と同様に、 局所解の存在、解の一意性はすぐ分かる (簡単なので省略する)。 また解が $\mathbb{R}$ 全体に延長できることも同様にして証明ができる (以下で示すように解軌道の方程式が求まるので、 それから解の有界性の議論を経て証明できる)。

証明.

$$\frac{\D}{\D t}(S(t)+I(t)+R(t))= S'(t)+I'(t)+R'(t) =-\beta S(t)I(t)+\beta S(t)I(t)-\gamma I(t)+\gamma I(t) =0$$

であるから $S(t)+I(t)+R(t)$ は定数である。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

総人口は定数であるから、これを $N$ とするとき、

$$S(t)+I(t)+R(t)=N.$$ (6.2)

SIRモデルの最初の2つの方程式

は $R=R(t)$ を含まないことに注意しよう。 初期条件

$$S(0)=S_0,\quad I(0)=I_0$$ (6.4)

を与えれば、$S(t)$, $I(t)$ が定まる。 すると

$$R(t)=N-S(t)-I(t)$$

で $R(t)$ が求められる。 以上より、$S(t)$, $I(t)$ のみを考えれば十分である。

必修課題 6.3.1   定理6.3 を証明せよ。

特に、 $S(0)>\frac{\gamma}{\beta}$ ならば、 $I$ は $S$ の関数として狭義の増加関数、 時刻 $t$ の関数として狭義の減少関数である。 $S(0)<\frac{\gamma}{\beta}$ ならば、$t$ が小さい ( $S(t)>\frac{\gamma} {\beta}$ が成り立つ) うちは、$I$ は増加関数で、 $t$ が大きい ( $S(t)<\frac{\gamma}{\beta}$ が成り立つ) ときは、 $I$ は減少関数である。

この定理の証明は、 ほどほどの難しさであろう。 ということで、演習課題にしていたのだけれど、 誰も解いてくれないので、以下に証明を示す。

証明.

(1)

第1象限の境界は $\left\{(S,0)\relmiddle\vert S\ge 0\right\}\cup \left\{(0,I)\relmiddle\vert I>0\right\}$ である。 $S$ 軸上の点はすべて平衡点であり、$I$ 軸の正の部分は解軌道であるから、 第1象限内の点から出発した解は第1象限にとどまる。

もう少し詳しくいうと、第1象限の点 $(S_0,I_0)$ から出発した解 (初期条件 $(S(0),I(0))=(S_0,I_0)$ を満たす微分方程式の解) が、 第1象限の補集合に到達するならば、 中間値の定理によって、 $S$軸上の点 $(S^\ast,0)$ (ここで $S^\ast\ge 0$) か、 $I$ 軸上の点 $(0,I^\ast)$ (ここで $I^\ast>0$) を通る。 すなわち、ある $t^\ast\in\mathbb{R}$ が存在して $(S(t^\ast),I(t^\ast))=(S^\ast,0)$ または $(S(t^\ast),I(t^\ast))=(0,I^\ast)$. 前者の場合、$(S^\ast,0)$ 軸上の点が平衡点であることから、解の一意性に反する。 また後者については、 $(S(t),I(t)) =(0,I^\ast e^{-\gamma(t-t^\ast)})$ が解であることから、 やはり解の一意性に反する。 ゆえに第1象限内の点から出発した解は第1象限内にとどまる。

(2)

解軌道は第1象限に含まれることがわかった。一方

$$\frac{\D}{\D t}(S(t)+I(t))=-\gamma I(t)<0$$

であるから、 $S(t)+I(t)\le S(0)+I(0)$. $S(t),I(t)>0$ に注意すると

$$S(t)\le S(0)+I(0),\quad I(t)\le S(0)+I(0).$$

以上から解軌道は有界で、$\bm{f}$ も解軌道上で有界であることが分かる。 従って解は $\mathbb{R}$ 全体で定義される。

(3)

微分方程式の解であることから

$$I'(t)=-\beta S(t)I(t)+\gamma I(t) =\beta S(t)I(t)\left(-1+\frac{... ...frac{1}{S(t)}\right) =S'(t)\left(-1+\frac{\gamma}{\beta}\frac{1}{S(t)}\right)$$

両辺を $t$ について(一時的に変数を $\tau$ に置き換えて)、 0 から $t$ まで積分すると

$$\int_0^t I'(\tau)\D\tau =\int_0^t\left(-1+\frac{\gamma}{\beta}\frac{1}{S(\tau)}\right) S'(\tau)\D\tau.$$

右辺は置換積分の公式から次式に等しい:

$$\int_{S(0)}^{S(t)}\left(-1+\frac{\gamma}{\beta}\frac{1}{S}\right)\D S.$$

ゆえに

$$I(t)-I(0)=S(0)-S(t)+\frac{\gamma}{\beta}\log\frac{S(t)}{S(0)}.$$

(4)

$S(t)>0$, $I(t)>0$ が示されたので、 $S'(t)=-\beta S(t)I(t)<0$. ゆえに $S$は狭義単調減少関数であり、 逆関数 $t=t(S)$ が存在する。ゆえに $I=I(t(S))$ は $S$ の関数である。

$$\frac{\D I}{\D S} =\frac{\frac{\D I}{\D t}}{\frac{\D S}{\D t}} =\frac{\beta S I-\gamma I}{\beta S I} =\frac{\gamma-\beta S}{\beta S}. \qed$$

$\qedsymbol$