6.4 数学的解析 (2) 無次元化と基本再生産数

有名な基本再生産数 (basic reproduction number) とその意味 (「基本再生産数が $1$ より小さいと感染者数は減少して¹⁶、 $1$ より大きいとしばらくの間は増える (流行する)」… -- これをいきちげんり閾値原理と呼ぶことがある) を説明する。

方程式をいわゆる無次元化して、簡潔な形に変換してから説明する。

$$\widetilde{S}(t):=\frac{S(t)}{N},\quad \widetilde{I}(t):=\frac{I(t)}{N},\quad \widetilde{R}(t):=\frac{R(t)}{N},$$

$$R_0:=\frac{\beta N}{\gamma}$$ (6.5)

とおく。 この定数 $R_0$ は、 除去者の数 $R$ と紛らわしい (特に $R()$ の初期値 $R(0)$ を $R_0$ と書きたくなりそう…) が、 混同しないように注意する。 (本当は「$S$ と $I$ の2つだけを考えれば十分」であるから、 早めに $R$ を書かないようにしておくのが良いのかも。) $R_0$ を “R nought” (アール・ノート) と読み、 基本再生産数 (the basic reproduction number) と呼ぶ。

このとき次式が成り立つ。

$$\frac{\D\widetilde{S}}{\D t}=-\gamma R_0\widetilde{S}\widetilde{I... ...I}-\gamma\widetilde{I} ,\quad \frac{\D\widetilde{R}}{\D t}=\gamma\widetilde{I}.$$

さらに時刻変数も

$$\widetilde{t}=\gamma t$$

と変数変換すると

$$\frac{\D\widetilde{S}}{\D \widetilde{t}}=-R_0\widetilde{S}\wideti... ...I}-\widetilde{I} ,\quad \frac{\D\widetilde{R}}{\D \widetilde{t}}=\widetilde{I}.$$

以上をまとめておく。

もともと $S$, $I$, $R$ は個体数 (人口) なので単位は例えば「人」、 $t$ は時刻なので単位は例えば「日」であるが、 $\widetilde{S}$, $\widetilde{I}$, $\widetilde{R}$, $\widetilde{t}$, そして $R_0$ も無次元量であり、単位を持たない ¹⁷。

必修課題 6.4.1   $R_0$ が無次元数であることを確かめよ。

$\widetilde{S}$, $\widetilde{I}$, $\widetilde{R}$ は、 それぞれ感受性者、感染者、除去者の全体(全人口)に占める率である。 COVID-19の第1波では、 $\gamma=\frac{1}{4.8}\;\mathrm{\text{日}}^{-1}$ であったと言われている (そう仮定してシミュレーションが行われた)。 この場合、 $\widetilde{t}$ は $4.8$ 日を単位として測った時刻ということになる。

以下では、 $\widetilde{}$ を省いて

と表す。これを無次元化 SIR 方程式と呼ぶことにする。

単位を替えただけなので、元の問題と本質的な違いがある訳ではない。 次の2つの定理は、二つ目の (5), (6) 以外は前の定理で証明ずみとして良い。

証明. (1)-(4) については、 定理 6.4 の (1)-(4) を書き直すだけである。

(1)

(a)

$S$ は減少関数であり $S(0)\le 1$ であるから、 任意の $t\in\mathbb{R}$ に対して $R_0 S(t)-1\le R_0\cdot1 -1=R_0-1\le 0$. $I(t)>0$であるから $I'(t)=(R_0S(t)-1)I(t)\le 0$. ゆえに $I$ は減少関数である。

(b)

$R_0>1$ かつ $\dfrac{1}{R_0}<S(0)$ が成り立つとき、 $R_0S(0)-1>0$. 連続性より、ある $\eps>0$ が存在して、 $R_0S(t)-1>0$ ($\vert t\vert<\eps$). このとき $I'(t)=(R_0S(t)-1)I(t)>0$ であるから $(-\eps,\eps)$ で $I$ は増加関数である。

(とりあえず $S(t_{\text{m}})=\dfrac{1}{R_0}$ を満たす $t_m$ の存在を認める。) $S$ は狭義減少関数なので $t>t_{\text{m}}$ に対して、 $S(t)<S(t_{\text{m}})=\frac{1}{R_0}$. ゆえに $R_0S(t)-1<1-1=0$. ゆえに $I'(t)=(R_0S(t)-1)I(t)\le 0$ であるから、$I$ は減少関数である。

(c)

(2)

$(S(t),I(t))$ は曲線 $\left\{(S,I)\relmiddle\vert I-I(0)=S(0)-S+\frac{1}{R_0}\log\frac{S}{S(0)}=0\right\}\cap \left\{(S,I)\relmiddle\vert I\ge 0\right\}$ 上に載っている。 ゆえに、ある $\delta_1>0$ が存在して、 すべての $t\in\mathbb{R}$ に対して $S(t)\ge \delta_1$.

$S(t)$ は単調減少で、$S(t)>0$ ( $t\in\mathbb{R}$) であるから、 $\dsp\lim_{t\to\infty}S(t)$ が存在する。

$I(t)$ も最初のうちは単調増加という場合もあるが、 あるところから先は単調減少に切り替わり、 やはり $I(t)>0$ ( $t\in\mathbb{R}$) であるから、 $\dsp\lim_{t\to\infty}I(t)$ が存在する。

実は $\dsp\lim_{t\to\infty} I(t)=0$ が成り立つことを背理法で証明しよう。 $\dsp\lim_{t\to\infty} I(t)\ne 0$ と仮定すると、 ある正数 $\delta_2$ が存在して、 すべての $t\in\mathbb{R}$ に対して $I(t)\ge\delta_2$. これから

$$\left\Vert(S'(t),I'(t))\right\Vert\ge\left\vert\beta S(t)I(t)\rig... ...left\vert S(t)\right\vert\left\vert I(t)\right\vert\ge\beta\delta_1\delta_2>0.$$

これから解軌道の長さが $\infty$ であることが導かれ、矛盾が生じる。 ゆえに $\dsp\lim_{t\to\infty} I(t)=0$. $\qedsymbol$

$\qedsymbol$

メモ: 十分時間が経過すると $S(t)<\frac{\gamma}{\beta}$ となることの証明: 背理法を用いる。 $S(t)\ge\frac{\gamma}{\beta}$ ($t>0$) と仮定すると、 $I'(t)\ge (\beta \frac{\gamma}{\beta}-\gamma)I(t)\ge 0$. ゆえに $I(t)\ge I(0)$. これから $S'(t)\le -\beta\cdot\frac{\gamma}{\beta} I(0)=-\gamma I(t)$. ゆえに $S(t)\le S(0)e^{-\gamma t}$. これは $S(t)\ge\frac{\gamma}{\beta}$ と矛盾する。

以下の (6.9) という方程式を掲げている本も多いので、 問にしておく。

独白   $R_0$ を与えたとき、$z$ を求めると考えると方程式を解く話になるが、 逆に $z$ を与えて対応する $R_0$ を求めるのは、

$$R_0=-\dfrac{\log(1-z)}{z}$$ (6.7)

という単純な計算だ。右辺の関数のグラフを描くのは簡単で、 図8 (横軸 $R_0$, 縦軸 $z$) の代わりになる。 $\qedsymbol$