前項の定理で、
という範囲を制限するものが出て来てしまったが、
これは仕方がないことである。
注: 実は有名な logistic 方程式でも解の爆発はおこる
(本文中に解の存在範囲が限定されることを説明した)。
実際の現象とは関わりがない場合 (初期値が負であったり、
環境収容力より大きかったり) なので、普通は問題とされないが。
爆発が起らないための十分条件としては、 次のリプシッツ条件が 有名である23。
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![]() ![]() |
爆発が起らない場合は、
解は方程式が意味を持つ
( の定義域をはみ出ない)
範囲で存在することが知られている。
これについて、以下なるべく簡潔な説明を試みる。
を
の領域または閉領域とする
24。
は連続で、微分方程式
以下、
初期値問題 (F.4), (F.2) の解とは、
その定義域が を左端とする区間
で、初期条件
と、
全体で微分方程式を満たすような関数
のことをいう。
また、
のことを解
の定義区間と呼ぶことにする。
初期時刻 の
十分近く (ある正の数
に対して、
を満たす範囲) では解 (局所解) が存在する、という定理があるわけだが、
それだけでは満足できない。出来る限り広い範囲での解の存在を保証してほしい。
ここではまず素朴な検討をしてみる。新たな初期値問題
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||
に初期条件
| ||
![]() |
ちょっと考えると、これを続けることで、
どこまでも解を延ばすことが出来そうだが、
有限の限界 があるかもしれない
(
-- 正の数を足し続けても、
限りなく増えるわけではない)。
(F.4), (F.2) の解のうち、 真に大きな定義区間が存在しないような(それ以上延ばせない)解のことを、 (F.4), (F.2) の極大延長解と呼ぶことにする。 例えば
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(D.2) | |
![]() |
(D.3) |
微分方程式の初期値問題の解の一意性が成り立つ場合
(例えば について局所 Lipschitz 条件が成り立つ) には、
極大延長解を構成するという方針で、
極大延長解の存在が証明できる (例えば高野 [40] の§5.3)。
この場合は最大延長解と呼ぶ方が適切かもしれない。
簡単のため、以下の議論では解の一意性が成り立つことを仮定する。
いくつかのテキストで、次のように説明されている。
しかし の境界に近づくとは、正確にはどういう意味であろうか。
正直なことを言うと、私にはよく分からない
(
のとき、
は有界であるが、振動し、
は境界から離れたり近づいたりすることがありそうに思われる)。
定義を明記してあるテキストを見た覚えがない
(単に私が不勉強なだけかもしれないが…)。
定義を書いていないということは、証明もきちんとは書かれていないことを意味する。
仕方がないので、私自身は、次のことを使っている。
極大延長解のグラフ上で が有界ならば、
が存在して、
は
の境界点である
(すなわち (
)
は
と
の両方と交わる)。
証明には、次の二つの定理を用いる。
![]() |
![]() |
極大延長解の場合に、もしも が
の内点であれば、
初期条件
の初期値問題を考えることで、
解が
を超えて延長できることが導かれ、矛盾が生じる。
ゆえに
は
の境界点である。
桂田 祐史