F..6 線形同次方程式の解空間の次元

証明. $1\le i\le n$ に対して、 第$i$成分が$1$で、その他の成分が0である$n$次元ベクトルを $\bm{e}_i$ とする。 $\bm{e}_1$, $\cdots$, $\bm{e}_n$ は1次独立である。 そこで、任意の$t_0\in I$ に対して

$$\bm{x}'(t)=A(t)\bm{x}(t)$$   ($t\in I$)$$,\quad \bm{x}(t_0)=\bm{e}_i$$

の解を $\bm{\varphi}_i$ ( $i=1,2,\cdots,n$) とすると、 $\bm{\varphi}_1$, $\cdots$, $\bm{\varphi}_n$ は$1$次独立である。

$\bm{x}$ が $\bm{x}'(t)=A(t)\bm{x}(t)$ ($t\in I$) の任意の解とする。 このとき

$$\bm{a}=(a_1,\cdots,a_n)^\top:=\bm{x}(t_0),$$

$$\bm{y}(t):=a_1\bm{\varphi}_1(t)+\cdots+a_n\bm{\varphi}_n(t)$$

とおくと、

$$\bm{y}(t_0)=a_1\bm{\varphi}_1(t_0)+\cdots+a_n\bm{\varphi}_n(t_0) =a_1\bm{e}_1+\cdots+a_n\bm{e}_n =\bm{a}=\bm{x}(t_0).$$

初期値問題の解の一意性によって $\bm{y}=\bm{x}$. すなわち

$$\bm{x}(t):=a_1\bm{\varphi}_1(t)+\cdots+a_n\bm{\varphi}_n(t)$$   ($t\in I$)$$.$$

ゆえに $\bm{\varphi}_1$, $\cdots$, $\bm{\varphi}_n$ は解空間の基底である。 ゆえに解空間の次元は $n$ である。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$