2026年度 応用複素関数

　火曜2限、310教室で講義を行います。

　取り上げる項目 (留数定理の応用、解析接続、等角写像、ポテンシャル問題、 流体力学、数値積分、佐藤超関数の紹介) は、 例年と90％くらいは同じにするつもりです。 講義の順番などは変更するかもしれません。 「コンピュータ数理」の講義科目なので、 コンピューターを使う場面を増やそうと考えています。

　Oh-o! Meiji にあるシラバスとシラバスの補足を読んで下さい。 ここに書いてあることは 4/1 時点での予定であり、 状況の変化により変更する可能性があります。 変更が決定した時点で、授業、シラバス補足、 このWWWサイトの全てで変更点をアナウンスします。

連絡事項

• 定期試験の採点をしていて、当たり前のことかもしれないが、 よく勉強している人がいて、毎年のことではあるけれど、 非常に嬉しい。 こちらとしてはサービス問題とでも言うのかな、 数行書いて満点という問題を出題していて (例えば問6とか問10とか)、 そういうのを2問選んで、 後は何か計算問題を記憶を頼りに時間の許す限り頑張る、 みたいなことをして欲しいのだが。 面倒な問題に取り組む人が結構いて、なんだかなぁ、と思う。 生成AIにやらせてみると、 典型問題(面倒な計算する)から解答したりするけれど。
• 山をかけたのか、難しい長い答案を書いてくれるのだけれど、 そもそも日本語になっていないものもあった。 例えば、主語に対応する述語がないとか。 日本語の場合、 主語を省略するのは日本語としてはあるのかもしれないけれど、 述語がないのはちょっとありえないと思う。\par あっても対応していない、というのもある。 「特異点は$z$が整数のときである。」 「特異点は…ときである。」がおかしいと感じられないのだろうか。
• 問5の問題文で誤植をした。 答案の中で指摘してくれた人もいたけれど (言ってくれればいいのに…)、 混乱してしまった人もいた。 (2) で項別微分を正しく実行していれば問5は満点とした。
• 問8の(2)、簡単な数値を選んだので、$w=\dfrac{az+b}{cz+d}$ とおいて、連立方程式を解く、としても求まる。 そうやった人もいた (なるほど、もちろん満点にする)。 一方で対応する行列まで正確に求めておいて、 最後の最後でミスする、 という人もいて (まあ中間点はあげるのだけど)。
• この講義は、 2年次に配置されている複素関数・同演習の受講を仮定しています。 2024年度の「複素関数」講義資料
• 7月28日に定期試験があります。試験時間60分。ノート等持ち込み不可。 試験範囲は第8回の講義まで (つまりレポート課題1の前まで)。 この科目は過去にペーパーテストをしたことがありますが、 出題範囲等については、 講義内容が変化しているので、あまり参考にはならないと思います。 尋ね方は多少参考になるかもくらい (…を求めよ、…を示せ、…の定義を述べよ、 定理を書け、まあ普通だと思っていますが)。 問題を多めに出して、3,4問選択という形式にします。
• 授業アンケートに協力して下さい (Oh-o! Meijiで行います) 。 本日 (2026/7/21) 10分ほど時間を取って行いますが、 欠席した人も期末試験前までをめどに回答して下さい。

資料

• シラバスのコピー(2026/4/1)
• 「続 複素関数」 (2026/5/11) 「複素関数」で講義しきれなかったことを色々説明したもの。 (この科目の講義内容(の一部)が書いてありますが、 全体の講義ノートというわけではありません。 これに書いてあっても講義しないこともあるし、 ここに書いてないことも講義します。)
  新型コロナウイルス感染症への対応で何年も影響を受けたけれど (とてもくたびれました)、 最近はまた新鮮な気持ちで講義できるようになってきました。 完成度をあげられるようがんばります。
• 「複素関数と流体力学」 ここからピックアップして講義しているのですが、 最近は講義メモの方が改良されている面も多いです。
• 「ベクトル解析早見表」 ベクトル解析の常識的事項 (流体力学に必要となる)
  もう少し詳しいことを知りたければ、 「多変数の微分積分学 2 講義ノート 第2部(ベクトル解析)」
• 「複素関数とMathematica」 (「複素関数・同演習」の資料)
• 「ポテンシャル問題とその数値解法」
• 「FreeFemの紹介」, 「FreeFem++ノート」
• 「数値積分解説」 今年度は数値積分の解説はしない可能性が高いが、資料は紹介しておく。

授業メモ

1. 2026/4/14 の講義メモ 留数の復習, 和の公式
2. 2026/4/21 の講義メモ $\cot$, $1/\sin^2$の部分分数展開
3. 2026/4/28 の講義メモ 広義一様収束, 二重級数定理
4. 2026/5/12 の講義メモ Riemann球面 $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}$ と1次分数変換 $w=\frac{az+b}{cz+d}$
5. 2026/5/19 の講義メモ Riemann球面の立体射影, 位相の導入, 1次分数変換は $\widehat{\mathbb{C}}$ から$\widehat{\mathbb{C}}$ への同相写像
6. 2026/5/26 の講義メモ $a=\infty$ または $f(a)=\infty$ の場合の $a$ における微分可能性, 領域の等角写像, Riemannの写像定理
7. 2026/6/2 の講義メモ, スライド 流体力学の方程式
   物質微分について書き足しました(2026/6/9)。 圧縮性流体で Euler 方程式を考えることもある、 という注意を書き足しました (2026/6/16)。
   物理のところは駆け足で済ませたかったのでスライドを使って講義しました。 こちらも、 物質微分について書き足しました (2026/6/9)。
8. 2026/6/9 の講義メモ ポテンシャル流, 2次元非圧縮ポテンシャル流と関数論
   ここまでがペーパ-テスト (定期試験) の試験範囲です。
9. 2026/6/16 の講義メモ, 講義では スライド を使います。
   実習資料 「簡単な正則関数を複素速度ポテンシャルとする流れの可視化」,
   サンプル・プログラム 一様流 uniform_flow.nb, 湧き出し source.nb
10. 2026/6/23 の講義メモ, 講義の一部では HTML を使います。
11. 2026/6/30 の講義メモ, FreeFEMの文法 (補助資料)
12. 2026/7/7 の講義メモ
13. 2026/7/14 の講義メモ

           curl -O https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2/conformalmap-v3.py
           python conformalmap-v3.py
    
           curl -O https://m-katsurada.sakura.ne.jp/complex2/ellipse-conformalmap.py
           python ellipse-conformalmap.py
    

14. (2026/7/21) 佐藤超函数の紹介

レポート課題

1. 「レポート課題1」(HTML), (PDF) (2026/6/16公開, 2026/7/17 23:00〆切)
   以前は2026/7/3 を〆切としましたが、 提出先を用意するのを間違えたので、〆切を先延ばししました。
2. 「レポート課題2」(HTML), (PDF) (2026/7/1公開, 2026/7/31 22:00〆切)
   次回講義 (2026/7/7) で改めて解説します。 (HTML形式で数式がうまく変換できないことがあったので、 PDFのみにしました。迷惑をかけていたらすみません。 サンプル・プログラムは 2026/7/1 に改訂しました。 2026/6/30 の講義のときに説明したものとは変わっています。)