A. $2$ 体問題全体像

• 大ざっぱな歴史 (C 節を見よ)
• 結果が円錐曲線なので、円錐曲線のイロハが必要である (C に書いた程度)。
• 質量が $1$ 点に集中している質点系の話に帰着されること (これは良く物理の本にあったと思うが…正確にはどこまで言えるのか)
• 2体問題で、各天体の運動は系の重心を座標系の原点にして、 $\dsp\dfrac{\D^2\Vector{r}}{\D t^2} =-\dfrac{G M}{\left\vert\Vector{r}\right\vert^3}\Vector{r}$ という 微分方程式に従うこと (D 「太陽は動かないという仮定について」)。
• 2体問題が平面運動になること (Kepler の第 0 法則と呼ぶこともあるらしい。 E 節で証明する。)
• Kepler の第1法則の証明
  正直なかなか分かりづらい。 藤田先生の証明は、 面積速度一定の法則から $\dot\theta=$定数$/r^2$ が得られ、 これをエネルギー保存則に代入することで、 $r(\theta)$ についての1階微分方程式が得られるが、 さらに従属変数 $u:=1/r$ を導入して、原点移動すると、 単振動の方程式が得られる、というもので、比較的道が見やすい。

  いずれにせよ、 位置を時間の関数として表しているのではないので、 通常の意味で微分方程式を解いたことにはなっていない。

• Kepler の第2法則 (面積速度一定の法則) の証明
  • 面積速度は、 $\frac{1}{2}r^2\dot\theta$ あるいは $\frac{1}{2}\Vector{r} \times\dot{\Vector{r}}$ で表される。
  • 物理で言ういわゆる角運動量の定数倍であるので、 この法則は角運動量保存則に相当する。
  • 少し脱線になるが、これは万有引力が中心力であることが本質的で、 距離の2乗に反比例することは重要でない。
  • ベクトル解析的な手短な証明は F.2 節にあるが、 極座標を用いれば、面積速度の微分は加速度の偏角方向の成分であり、 中心力ではそれがゼロになるので、自ずと明らかである (G 節を見よ)。
• Kepler の第3法則
  (発見に対数が役立ったことについて、J 節を見よ。 証明は G 節を見よ。 藤田先生のように円運動の場合に限るのも授業としてはアリか。)
• 逆に Kepler の法則から万有引力の法則が導出されること (溝畑 [11] にあったはずで、そのうち勉強しよう)
• 位置 $r$ を時間の関数として表わすこと (久賀 [8] or [9] に 授業中に失敗した話が出ていた。 Bessel 関数が必要になる。 ボウマン [6] など Bessel 関数のテキストに載っている。 H.2 を見よ。)