F..2 角運動量保存

角運動量 $\vec L$ は、運動量を $\vec p$ として、

$$\vec L:=\vec r\times\vec p$$

で定義される。ところで $\vec p=m\dfrac{\D \vec r}{\D t}$ であるから、

$$\vec L=m\vec r\times\frac{\D\vec r}{\D t}$$

であることに注意しよう。

また万有引力 $\Vec{F}$は、いわゆる中心力であるから、 $\vec F=F(\vec r)\vec r$ の形をしている。このことから

$$\frac{\D\vec L}{\D t} =\frac{\D}{\D t}\left(\vec r\times \vec p\... ...es m\frac{\D^2 \vec r}{\D t^2} =\vec 0+\vec r\times F(\vec r)\vec r =\vec 0.$$

これから $\vec L$ は定数であることが分かる。

ゆえに万有引力に従って運動する惑星の角運動量は保存されることが分かった (証明を見れば分かるように、これは一般に中心力場の場合に成立する)。