F..1 エネルギー保存

太陽の質量を $M$, 万有引力定数を $G$ とすると、 $\Vector{r}=\Vector{r}(t)$ は次の微分方程式を満たす:

$$\frac{\D^2\Vector{r}}{\D t^2}(t)=-\frac{GM}{\vert\Vector{r}(t)\vert^3}\Vector{r}(t).$$

この等式の両辺と $\dfrac{\D\Vector{r}}{\D t}(t)$ との内積を取ると

$$\star \frac{\D\Vector{r}}{\D t}(t)\cdot \frac{\D^2\Vector{r}}{\D t^2}(t... ...c{GM}{\vert\Vector{r}(t)\vert^3}\Vector{r}(t)\cdot\frac{\D\Vector{r}}{\D t}(t).$$

さて、

$$\grad\left(\frac{1}{\left\vert\Vector{r}\right\vert}\right) =-\frac{1}{\left\vert\Vector{r}\right\vert^3}\Vector{r}$$

であるから、

$$U(\Vector{r}):=-\frac{G M}{\left\vert\Vector{r}\right\vert}$$

とおくと、

$$-\grad U(\Vector{r})=-\frac{GM}{\left\vert\Vector{r}\right\vert^3}\Vector{r}.$$

すなわち、 万有引力の場は、 $U(\Vector{r})$ をポテンシャル・エネルギーに持つ。 ゆえに万有引力は保存力である。

これから ($\star$) の右辺は

$$-\frac{GM}{\vert\Vector{r}(t)\vert^3}\Vector{r}(t)\cdot\frac{\D\V... ...or{r}(t))\cdot\frac{\D\Vector{r}}{\D t}(t) =-\frac{\D}{\D t} U(\Vector{r}(t))$$

と表される。ゆえに ($\star$) は次のように書き換えられる。

$$\frac{1}{2}\frac{\D}{\D t} \left(\left\vert\frac{\D\Vector{r}}{\D t}(t)\right\vert^2\right) =-\frac{\D}{\D t} U(\Vector{r}(t)).$$

移項すると、

$$\frac{\D}{\D t} \left(\frac{1}{2}\left\vert\frac{\D\Vector{r}}{\D t}(t)\right\vert^2 +U(\Vector{r}(t)) \right)=0.$$

これから力学的エネルギー

$$E(t):=\frac{1}{2}m\left\vert\frac{\D\Vector{r}}{\D t}(t)\right\vert^2 +m U(\Vector{r}(t))$$

は定数であることが分かる。