3.2 Kepler の第一法則

以下、Kepler の第一法則を証明する。 すなわち軌道が楕円であることを証明するが、 得られるのは、 $\Vector{r}$ の軌跡であって、 $\Vector{r}(t)$ そのものではない。 細かい注意になるが、これは微分方程式を解いたのとは少し異なる。

軌道の解析に戻る。 $r$ を従属変数、$\theta$ を独立変数と考えることになる。

$'$ を $\theta$ に関する微分を表わす記号とする。

$$\dot r=\frac{\D r}{\D t}=\frac{\D r}{\D\theta}\frac{\D\theta}{\D t} =r'\dot \theta.$$

エネルギー保存則 (2) に代入して

$$\frac{1}{2}(r'^2\dot\theta^2+r^2\dot\theta^2)-\frac{\alpha}{r} \equiv E_0.$$

すでに得られている $r^2\dot\theta\equiv L_0$ を使って、 $\dot\theta$ を消去すると

$$\frac{1}{2}(r'^2+r^2)\left(\frac{L_0}{r^2}\right)^2-\frac{\alpha}{r} =E_0.$$

これは $r$ に関する一階常微分方程式である。 $k=L_0$ とおくと、

$$\frac{k^2}{2} \left[ \left(\frac{r'}{r^2}\right)^2+\frac{1}{r^2} \right] -\frac{\alpha}{r}=E_0.$$

$u=1/r$ とおくと、

$$u'=-\frac{r'}{r^2},\quad r'=-r^2u'$$

であるから

$$\frac{k^2}{2}(u'^2+u^2)-\alpha u=E_0.$$

$$(u')^2+u^2-\frac{2\alpha}{k^2}=\frac{2E_0}{k^2}.$$

$$w=u-\frac{\alpha}{k^2}$$

とおくと、

$$(w')^2+w^2=\beta_0^2, \quad \beta_0:=\sqrt{\frac{2E_0}{k^2}+\frac{\alpha^2}{k^4}}.$$ (4)

$\theta$ で一度微分すると

$$2w'w''+2w w'=0.$$

すなわち

$$w'(w''+w)=0.$$

$w'\equiv 0$ の場合を考えると $w$ は定数。$u$ も定数。 $r$ も定数。これは円軌道の場合であり、前節で解析済みである (等速円運動になる)。

$w''+w=0$ の場合。一般解は

$$w=A\cos(\theta+\delta_0)$$   $$\mbox{($A$, $\delta_0$ は任意定数)}$$$$.$$

必要ならば $\delta_0$ を取り替えることで ($A<0$ ならば、 $\delta_0+\pi$ を新たに $\delta$ とする)、$A>0$ としてよい。

(4) に代入すると $A^2=\beta_0^2$ となるので、 $A=\beta_0$.

極座標の原線を $r$ が最小になる点を通るように取れば $\delta_0$ となる (必ず最小になるのか？単に座標系を取り直すことでくらいにしておく方がよいな)。

$2$ 次曲線の極座標表示の標準形と見比べよう。

$$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}$$ (5)

$e$ は離心率 ($0<e$ で、$e=0$ は円, $0\le e<1$ は楕円, $e=1$ は放物線, $e>1$ は双曲線), $p$ は $\cos\theta=0$ のときの $r$ の値。

$$p=\frac{k^2}{\alpha},\quad e=\frac{k^2\beta_0}{\alpha} =\frac{k... ...qrt{\frac{2E_0}{k^2}+\frac{\alpha^2}{k^4}} =\sqrt{\frac{2k^2E_0}{\alpha^2}+1}$$

とすると 2 次曲線の方程式 (5) に一致する。

$$E_0<0\Iff e<1,\quad E_0=0\Iff e=1,\quad E_0>0\Iff e>1.$$