3 一般の場合の解析

すでに見たように、エネルギーと角運動量は保存される。

$$E=\frac{1}{2}\vert \mbox{\boldmath$v$} \vert^2-\frac{\alpha}{r}\equiv E_0,$$ (2)

$$L=x\dot y-\dot x y\equiv L_0.$$ (3)

極座標

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$

を導入すると、

$$\dot x=\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta,\quad \dot y=\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta.$$

$$\vert$$$$\mbox{\boldmath$v$}$$$$\vert^2=\dot x^2+\dot y ^2=\dot r^2+r^2\dot\theta^2$$

を (2) に代入すると

$$\frac{1}{2}(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)-\frac{\alpha}{r} \equiv E_0.$$

さて、角運動量を極座標で表現すると

$$L=x\dot y-\dot x y =r\cos\theta(\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta) -r\sin\theta(\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta) =r^2\dot\theta$$

であるから、(3) に代入して

$$r^2\dot\theta\equiv L_0.$$

これは円運動の場合にすでに得られていた $L=R^2\dot\theta$ の一般化である。