2.3 円運動の場合

$$-\omega^2$$   $$\mbox{\boldmath$r$}$$$$=-\alpha\frac{\mbox{\boldmath$r$}}{R^3}.$$

ゆえに

$$\omega^2=\frac{\alpha}{R^3}$$

ところで

$$\vert v_0\vert=\vert v\vert=R\omega^2$$

であるから

$$\vert$$$$\mbox{\boldmath$v$}$$$$_0\vert^2 R=\alpha.$$

逆にこの関係と、 $v$$_0$ が半径と垂直ならば円運動になる。

Why?

ところでエネルギー $E$ は

$$E=\frac{1}{2}\vert$$$$\mbox{\boldmath$v$}$$$$\vert^2-\frac{\alpha}{R}$$

で与えられる。

$$E=-\frac{1}{2}\frac{\alpha}{R}.$$

これから $E$ は保存されることが分かる。

周期 $T$ は

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha}}R^{3/2}.$$

Kepler の第三法則が証明できた (円運動という特殊な場合だけであるが)。

角運動量 (angular momentum) は、一般に、位置ベクトル $\vec r$ と運動量 $p$ のベクトル積として定義される:

$$L=r\times p.$$

中心力を受けて運動する惑星の 角運動量は定数ベクトルであることが 証明できる。

初期時刻における角運動量を $L_0$ とする。 $L_0=0$ の場合、.. 衝突解と呼ばれる。 これは周期解にはならない。 この場合は、いわゆる Kepler の法則は 成り立たない。それに対して、 $L_0\ne 0$ ならば Kepler の法則が成り立つ。 それを以下に見る。