2.2 保存量

$$\alpha:=G M$$ (1)

とおく。

惑星は平面運動をする。このことの証明は後回しにする。

$$\Vector{r}=(x,y,0),\quad \Vector{v}=(\dot x,\dot y,0).$$

となる。

座標軸は、太陽を原点に、 また $t=0$ における $\mathrm{OP}$ が $x$ 軸に含まれるようにする。

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

$$\ddot{x}=-\alpha\frac{x}{r^3},\quad \ddot{y}=-\alpha\frac{y}{r^3}.$$

$x$ と $y$ という、2つの成分だけに注目すれば良い。

$E$ と $L$ を次式で定める:

$$E=E(t):=\frac{1}{2}\left\vert\Vector{v}\right\vert^2-\frac{\alpha}{r} =\frac{1}{2}\left(\ddot{x}^2+\ddot{y}^2\right)-\frac{\alpha}{r},$$

$$L=L(t):=x\dot{y}-\dot{x}y.$$

解析に入る前に

$$\Vector{r}\times\Vector{v} =\left\vert \begin{matrix} x & \dot... ...{e}_3 \end{matrix} \right\vert =(x\dot y-\dot x y)\Vector{e}_3=L\Vector{e}_3$$

となることを注意しておく。要するに、$L$ は本質的には角運動量である。

以下、実は $E$ も $L$ も時間に依らないことを示そう。

$$\frac{\D}{\D t}\frac{1}{r} =\frac{\D}{\D t}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{\D}{\D t}\left[\l... ...ht] =-\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^{-3/2}\frac{\D}{\D t}\left(x^2+y^2\right)$$

$$=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{r^3}\cdot 2\left(x\dot{x}-y\dot{y}\right) =-\frac{x\dot x-y\dot y}{r^3}$$

であるから、

$$\dot E=\dot x\ddot x+\dot y\ddot y+\alpha\frac{x\dot x+y\dot y}{r... ...\dot y\left(-\alpha\frac{y}{r^3}\right) +\alpha\frac{x\dot x+y\dot y}{r^3}=0.$$

ゆえに $E$ は定数である。

$$E_0:=E(0)=\frac{1}{2}\left\vert\Vector{v}_0\right\vert^2-\frac{\alpha}{r_0}$$

とおけば

$$E(t)\equiv E_0.$$

一方、$L$ についても

$$\dot L=\dot x\dot y+x\ddot y-(\ddot x y+\dot x\dot y) =x\ddot y-... ... =x\left(-\frac{\alpha y}{r^3}\right)-\left(-\frac{\alpha x}{r^3}\right)y =0.$$

ゆえに $L_0:=L(0)$ とおくと、

$$L(t)\equiv L_0.$$