2.1

万有引力 (universal gravitation) の大きさは

$$G m M\frac{1}{r^2}.$$

ただし、$G$ は万有引力定数と呼ばれる正定数である。SI 単位系で

$$G=6.6720\times10^{-11}\mathrm{[N\cdot m^2\cdot kg^{-2}]}.$$

ここでは太陽は静止しているとする。 という説明に何の疑問も抱かない学生が多い。うーん。 二つの言い訳がある。

1. 太陽は惑星と比べて質量が大きいので、太陽の動きは無視できる。
   (太陽の質量は、地球の質量の 33 万倍で、共有重心は太陽の中)
2. 共有重心のまわりの運動とすれば…

地球が受ける力 $\Vector{f}$ は、

$$\Vector{f}=-G m M\frac{\Vector{r}}{r^3}.$$

運動方程式に代入して

$$m\frac{\D^2\Vector{r}}{\D t^2}=-G m M\frac{\Vector{r}}{r^3}.$$

$m$ で割って

$$\frac{\D^2\Vector{r}}{\D t^2}=-G M\frac{\Vector{r}}{r^3}.$$

以下、関数の時間微分を $\dot{}$ をつけて表すことにする。

$$\ddot{\Vector{r}}=-G M\frac{\Vector{r}}{r^3}.$$

$\Vector{r}=(x,y,z)$ と成分表示すれば、

$$\ddot x=-G M\frac{x}{r^3},\quad \ddot y=-G M\frac{y}{r^3},\quad \ddot z=-G M\frac{z}{r^3}.$$

初期時刻 $t=0$ における惑星の位置ベクトル

$$\Vector{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$$

とする。また速度ベクトルを $\Vector{v}_0$ とする。 初期条件は

$$\Vector{r}(0)=\Vector{r}_0,\quad \dot{\Vector{r}}(0)=\Vector{v}_0.$$