E. 平面運動であることの証明

基本的な仮定のおさらい

$\Vector{r}=\Vector{r}(t)$ は、

$$\frac{\D^2\Vector{r}}{\D t^2} =-\frac{G M \Vector{r}}{\left\vert... ...t^3},\quad \Vector{r}(0)=\Vector{r}_0,\quad \dot{\Vector{r}}(0)=\Vector{v}_0$$

という微分方程式の初期値問題の解である。速度 $\Vector{v}$ は

$$\Vector{v}(t):=\dot{\Vector{r}}(t)$$

で導入され、もちろん

$$\Vector{v}(0):=\Vector{v}_0,\quad \dot{\Vector{v}}(t)=\ddot{\Vector{r}}(t)$$

が成り立つ。

$\Vector{r}_0\ne\Vector{0}$ として良い (惑星は最初に太陽とぶつかっていない)。

$\Vector{v}_0$ は $\Vector{r}_0$ と1次独立とする。 もし1次従属の場合は、 $\exists k\in\R$ s.t. $\Vector{v}_0=k\Vector{r}_0$. この場合、「まっすぐの解」が比較的簡単に見つかる (直観的に明らかであろう)。 解の一意性はあるので、問題が解けたことになる。