E..0.0.1 問

$\Vector{v}_0=k\Vector{r}_0$ の場合に解を求めよ。

$\Vector{r}_0$ と $\Vector{v}_0$ が1次独立という仮定から、

$$\Vector{e}:=\Vector{r}_0\times\Vector{v}_0$$

とおくと⁴、 $\Vector{e}\ne\Vector{0}$ である。

$$\Vector{a}(t):=\Vector{r}(t)\times\Vector{v}(t)$$

とおく。

$$\Vector{a}(0)=\Vector{r}(0)\times\Vector{v}(0) =\Vector{r}_0\times\Vector{v}_0 =\Vector{e}.$$

また、積の微分法と、 $\Vector{v}$ の定義、万有引力の法則を表す微分方程式から

$$\dot{\Vector{a}}(t) =\frac{\D}{\D t}\left(\Vector{r}(t)\times\Vector{v}(t)\right) =\dot{\Vector{r}}(t)\times\Vector{v}(t) +\Vector{r}(t)\times\dot{\Vector{v}}(t)$$

$$=\Vector{v}(t)\times\Vector{v}(t)+\Vector{r}(t) \times\left(-\frac{GM\Vector{r}(t)}{\left\vert\Vector{r}(t)\right\vert^3}\right) =\Vector{0}.$$

(ここで一般に $\Vector{A}\times\Vector{A}=\Vector{0}$ であることを用いた。)

ゆえに $\Vector{a}(t)\equiv\Vector{a}(0)=\Vector{e}$. これから

$$\left(\Vector{r}(t),\Vector{e}\right) =\left(\Vector{r}(t),\Vect... ...}(t)\right) =\left(\Vector{r}(t),\Vector{r}(t)\times\Vector{v}(t)\right) =0.$$

(ここで一般に $(\Vector{A},\Vector{A}\times\Vector{B})=0$ であることを用いた。)

これは $\Vector{r}(t)$ が平面 $\left\{\Vector{x}\in\R^3; \Vector{x}\cdot\Vector{e}=0\right\}$ (これは $\Vector{r}_0$ と $\Vector{v}_0$ を含む平面としても特徴づけられる) に含まれていることを意味する。