D..4 重心を座標系の原点とした方程式

証明. $2$ つの運動方程式 (12), (12) を辺々加えると、

$$\frac{\D^2}{\D t^2}\left(m_1\Vector{r}_1+m_2\Vector{r}_2\right)= \Vector{0}.$$

(右辺がきれいに消えるのは、作用反作用の法則のため、とも言えるだろう。) これを $m_1+m_2$ で割れば良い。 $\qedsymbol$ $\qedsymbol$

$\Vector{g}$ は、太陽と惑星からなる系の重心と呼ばれる。 (すぐ上で見たように) これが等速直線運動するので、 もともとの座標系が物理で言うところの慣性系である場合、 重心を中心とする座標系も慣性系になる。 前項の太陽を座標系の中心とするのよりは望ましいであろう。

重心を原点とした場合の惑星の位置ベクトルは

$$\Vector{R}:=\Vector{r}_1-\Vector{g}.$$

$\Vector{r}_1$, $\Vector{r}_2$ で表すと

$$\Vector{R}:= \frac{(m_1+m_2)\Vector{r}_1-\left(m_1\Vector{r}_1+m... ...ight)} {m_1+m_2} =\frac{m_2}{m_1+m_2}\left(\Vector{r}_1-\Vector{r}_2\right).$$

これから、

$$\Vector{r}_1-\Vector{r}_2=\frac{m_1+m_2}{m_2}\Vector{R},\quad \f... ...=\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)^3\frac{1}{\left\vert\Vector{R}\right\vert^3}$$

であるから、(13) に代入して

$$\frac{\D^2\Vector{R}}{\D t^2} =-\frac{G(m_1+m_2)}{\left\vert\Vec... ...=-\frac{G\dfrac{m_2^2}{m_1+m_2}}{\left\vert\Vector{R}\right\vert^3}\Vector{R}.$$

そこで

$$\widehat M:=\frac{m_2^2}{m_1+m_2}$$

とおくと、

$$\frac{\D^2\Vector{R}}{\D t^2} =-\frac{G\widehat M}{\left\vert\Vector{R}\right\vert^3}\Vector{R}.$$ (15)

こうして (8) と 同じ形の微分方程式を導くことができた。

$m_2\gg m_1$ ならば、

$$\frac{m_1}{m_1+m_2}\kinji 0,\quad \frac{m_2}{m_1+m_2}\kinji 1$$

とみなして、

$$\Vector{g}\kinji \Vector{r}_2,\quad \Vector{R}\kinji\Vector{r}_1-\Vector{r}_2,\quad \widehat M\kinji m_2=$$太陽の質量$$.$$

(8) は (15) の 良い近似になっていると考えられる。