C..3 2次曲線の極形式

$p>0$, $e\ge 0$ を定数とするとき、 極座標で

$$r=\frac{p}{1+e\cos\theta}$$

という方程式で表わされる曲線を調べよう。

分母を払って移項すると

$$r=p-e r\cos\theta.$$

デカルト座標 $(x,y)$ を使うと

$$\sqrt{x^2+y^2}=p-e x.$$

両辺を二乗して

$$x^2+y^2=(p-ex)^2=p^2-2pex+e^2x^2,\quad e x\le p.$$

まとめると

$$(1-e^2)x^2+2pex+y^2=p^2,\quad x\le \frac{p}{e}.$$ (6)