7 1次元熱方程式を試す

桂田研では毎度おなじみの，熱伝導方程式の初期値境界値問題

$$u_{t}(x,t)=u_{xx}(x,t) (x,t)\in(0,1)\times(0,\infty) ,$$ (1)

$$u(0,t)=u(1,t)=0 t\in(0,\infty) ,$$ (2)

$$u(x,0)=f(x) x\in[0,1]$$ (3)

を差分法で解け，というプログラム。$f$ は与えられた関数で， 以下のプログラムでは，次のように決め打ち。

$$f(x):=\min\{x,1-x\} =\left\{ \begin{array}{ll} x & \texttt{($x\in[0,1/2]$)}\\ 1-x & \texttt{($x\in(1/2,1]$)}. \end{array} \right.$$

数値計算環境の個人的な評価をするために便利だと思っている。 差分方程式，連立1次方程式，グラフィックスをその環境でどう実現するか， 自分の頭を働かせることになるので。

事前の考えでは

• Numpy を使えば差分方程式の扱いは問題ないだろう。
• 同様に連立1次方程式も多分大丈夫 (以下に見るように，興が乗って， C 言語で書いたモジュールを使ってみた)。
  もっとも空間の次元によってかなり違うかな？ 空間1次元では，とりあえず三項方程式 (tridiagonal system of linear equation) を解くことになる。
• グラフィックスはどうなるのか？
  (やり始めた時点で matplotlib ほとんど知らない)

叩き台はこれまで書いた C プログラム (「どこでも1次元熱方程式の差分法シミュレーション」)。 今回作る Python プログラムもそのうちそちらに書き足すのだろう。