H..1 ボウマン[6]第7章から

2体問題では、Kepler の第1,第2法則によって、 惑星 $\mathrm{P}$ は、太陽 $\mathrm{S}$ を一つの焦点とする楕円軌道を描き、 任意の時刻に動径 $\mathrm{SP}$ の掃く面積は、 その時間に比例する。

$\mathrm{P}$ の描く楕円を

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$   $$\mbox{($a>b>0$)}$$

とし、 焦点 $(c,0)$ ( $c:=\sqrt{a^2-b^2}$) に太陽 $\mathrm{S}$ があり、 惑星 $\mathrm{P}$ は「反時計回り」にまわるとする。 離心率 $e$ は、

$$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$

である。

次のような「平均惑星」 $\mathrm{M}$ を考える (これはここで作った用語で、「平均太陽」のもじりである)。

(i)

円 $x^2+y^2=a^2$ 上を等速に移動する。

(ii)

$\mathrm{P}$ が近日点 $\mathrm{A}(a,0)$, 遠日点 $\mathrm{A'}(-a,0)$ に あるときは、 $\mathrm{M}$ は $\mathrm{P}$ と一致する。

$\mathrm{P}$ が近日点を通る瞬間を時刻 $t=0$ とする。 また 点 $\mathrm{P}$ の、 $\mathrm{S}$ を極とする極座標を $r$, $\theta$ とする:

$$r:=\overline{\mathrm{SP}},\quad \theta:=\angle\mathrm{ASP}.$$

$\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とするとき、 円 $x^2+y^2=a^2$ 上の点 $\mathrm{Q}$ を $\mathrm{Q}:=(x,ay/b)$ で定める。

惑星 $\mathrm{P}$ の、 太陽 $\mathrm{S}$ を極とする極座標の角度である $\theta$ は、 天文用語では、 近日点 $(a,0)$ から惑星までの角距離という意味で、 真近点距離 (true anomaly) と呼ばれる ⁵。

離心近点距離 (eccentric anomaly) $\phi$, 平均近点距離 (mean anomaly) $\psi$ を

$$\phi:=\angle\mathrm{AOQ},\quad \psi:=\angle\mathrm{AOM}$$

で定める。 ちなみに

$$\mathrm{P}(c+r\cos\theta,r\sin\theta),\quad \mathrm{M}(a\cos\psi,a\sin\psi),\quad \mathrm{Q}(a\cos\phi,a\sin\phi).$$

Keplerの問題

$r$, $\theta$, $\psi$ などの変数を、 時刻 $t$ あるいは平均近点距離 $\psi$ の関数として表せ、 という問題を Keplerの問題という。