H..1.1 離心近点距離 $\phi$ を平均近点距離 $\psi$ の関数として表す

周期を $T$ とするとき、

$$\frac{t}{T}=\frac{\psi}{2\pi} =\frac{\mbox{面積}\mathrm{ASP}}{\pi a b} =\frac{\mbox{面積}\mathrm{ASQ}}{\pi a^2}$$

である ( 面積$\mathrm{ASQ}=\dfrac{a}{b}\times$   面積$\mathrm{ASP}$ に注意する)。

   面積$$\mathrm{ASQ} =$$扇形$$\mathrm{AOQ}-\triangle\mathrm{SOQ} =\frac{1}{2}a^2\phi-\frac{1}{2}ae\cdot a\sin\phi =\frac{a^2}{2}(\phi-e\sin\phi)$$

であるから、

$$\frac{\psi}{2\pi}=\frac{a^2\left(\phi-e\sin\phi\right)}{2\cdot\pi a^2}.$$

ゆえに

$$\psi=\phi-e\sin\phi.$$ (21)

$\phi-\psi$ は、変数 $\psi$ について、周期 $2\pi$ の周期奇関数であるから、

$$\phi-\psi=\sum_{n=1}^\infty B_n\sin n\psi,$$

ただし

$$B_n =\frac{2}{\pi}\int_0^\pi(\phi-\psi)\sin n\psi\;\D\psi$$

$$=\frac{2}{\pi} \left\{ \left[-\left(\phi-\psi\right)\frac{\cos n\... ...^\pi\frac{\cos n\psi}{n}\dfrac{\D}{\D\psi}\left(\phi-\psi\right)\D\psi \right\}$$

$$=\frac{2}{n\pi}\int_0^\pi\cos n\psi\frac{\D\phi}{\D\psi}\D\psi =\frac{2}{n\pi}\int_0^\pi\cos(n\phi-n e\sin\phi)\D\phi.$$

ゆえに

$$B_n=\frac{2}{n}J_n(n e).$$

すなわち

$$\phi=\psi+2\left( J_1(e)\frac{\sin\psi}{1} +J_2(2e)\frac{\sin2\... ...i}{3} +\cdots \right) =\psi+2\sum_{n=1}^\infty J_n(ne)\frac{\sin n\psi}{n}.$$