3.4 $R$ のスペクトル解析

$f$ を

$$f(\mu):=\frac{\left[1-2(1-\theta)\lambda\right]+(1-\theta)\lambda... ...heta\lambda)-\theta\lambda\mu} =1+\frac{\lambda(\mu-2)}{1+\theta\lambda(2-\mu)}$$ (7)

で定めると

$$R_{N-1}=f(J_{N-1})$$

となる。$J_{N-1}$ の固有値、固有ベクトルは前項で調べたように $\mu_n=2\cos n\pi h$, $\vec v_n$ ( $n=1,2,\cdots,N-1$) で与えられるから、 $R_{N-1}$ の固有値、固有ベクトルは $f(\mu_n)$, $\vec v_n$ ( $n=1,2,\cdots,N-1$) で与えられることが分かる (Frobenius の定理の一般化、桂田 [3] の第4章にある「有理式版フロベ ニウスの定理」)。

(1) まず $\mu\le 2$ とするとき、 $1+\theta\lambda(2-\mu)\ge 1$ であることに注意する。

$$f'(\mu) =\frac{\left[1+\theta\lambda(2-\mu)\right]\cdot\lambda-(... ...bda(2-\mu)\right]^2} =\frac{\lambda}{\left[1+\theta\lambda(2-\mu)\right]^2}>0$$

であるから、$f$ は $[-2,2]$ で狭義単調増加である。 (2) は単純な計算で分かる。 (3) については、

$$f(-2)=\frac{1+4\theta\lambda-4\lambda}{1+4\theta\lambda}$$

であるから、

$$f(-2)-(-1)=f(-2)+1 =\frac{1+4\theta\lambda-4\lambda+1+4\theta\la... ...\theta\lambda} =\frac{2\left[1+2\lambda(2\theta-1)\right]}{1+4\theta\lambda}.$$

この分母は正であるから、

$$f(-2)\ge -1\quad\Iff\quad 1+2\lambda(2\theta-1)\ge 0 \quad\Iff\quad \dsp\theta\ge\frac{1}{2}$$   or$$\quad \left( \theta<\frac{1}{2}\quad\mbox{and}\quad \lambda\le\frac{1}{2(1-2\theta)} \right). \qed$$

さて、 $\mu_n=2\cos n\pi h=2\cos\dfrac{n\pi}{N}$ より

$$2>\mu_1>\mu_2>\cdots>\mu_{N-1}>-2$$

であるから、上の補題の (1), (2) を用いると、

$$1=f(2)=f(\mu_1)>f(\mu_2)>\cdots>f(\mu_{N-1})>f(-2).$$

補題の (3) より、

$$\theta\ge\frac{1}{2}$$   or$$\quad \left(\theta<\frac{1}{2} \quad\mbox{and}\quad\lambda\le\f... ...d\Then\quad \left\vert f(\mu_n)\right\vert<1\quad\mbox{($n=1,2,\cdots,N-1$)}.$$

さらに、もしこの仮定が成り立たない、すなわち¹³

$$\theta<\frac{1}{2}$$   and$$\quad \lambda>\frac{1}{2(1-2\theta)}$$

ならば、$f(-2)<-1$ となるので、

$$\mu_{N-1}=-\mu_1=-2\cos\frac{\pi}{N}\downto -2$$   $$\mbox{($N\to\infty$)}$$

に注意すると、十分大きな $N$ に対して

$$f(\mu_{N-1})<-1$$   ゆえに$$\quad\left\vert f(\mu_{N-1})\right\vert>1$$

となることが分かる。 まとめると次の定理を得る。