3.3 $J$ のスペクトル解析

行列 $J=J_{N-1}$ の固有値、固有ベクトルは次のように完全に求まる。

この命題の証明を直接行うことも出来るが¹²、 それ自身明快な意味を持つ次の命題を足掛かりに証明することにする。

証明. $n\in \N$ に対して、

$$v_n(x) := \sin n\pi x,$$

$$v_{nj} := v_n(x_j)=\sin n\pi x_j =\sin n\pi j h=\MyIm\left(e^{i n\pi j h}\right) \mbox{($j=0,1,\cdots,N$)} ,$$

$$\vec v_n := (v_{n1},v_{n2},\cdots,v_{n,N-1})^T$$

とおく。 $v_{n0}=v_{n,N}=0$ に注意しておく。 任意の $j\in\{1,2,\dots,N-1\}$ について

$$\mbox{$L_{N-1}\vec v_n$ の第$j$成分} = 2v_{nj}-v_{n,j-1}-v_{n,j+1}$$

$$= \MyIm \left( 2 e^{i n\pi j h}-e^{i n\pi (j-1)h} -e^{i n\pi (j+1)h} \right)$$

$$= \MyIm \left[ e^{i n\pi j h} \left( 2-e^{-i n\pi h}-e^{i n\pi h} \right) \right]$$

$$= \MyIm \left[ e^{i n\pi j h}\cdot 2 \left( 1-\cos n\pi h \right) \right].$$

ここで

$$2(1-\cos n\pi h)=2\cdot 2\sin^2\frac{n\pi h}{2} =4\sin^2\frac{n\pi h}{2}=:\lambda_n$$

は実数であることに注意すると

   $$\mbox{$L_{N-1}\vec v_n$ の第$j$成分}$$$$=\lambda_n \MyIm e^{in\pi j h}=\lambda_n v_{nj}.$$

すなわち

$$L_{N-1}\vec v_n=\lambda_n \vec v_n.$$

ところで

$$0<\frac{1\cdot \pi h}{2}<\frac{2\pi h}{2}<\cdots<\frac{(N-1)\pi h}{2} <\frac{\pi}{2}$$

であるから

$$0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_{N-1}<4.$$

特に $\{\lambda_n\}_{1\le n\le N-1}$ は互いに相異なる。 個数を考えると、これが $L_{N-1}$ の固有値全体となる。$\qedsymbol$ $\qedsymbol$

命題3.2 $J_{N-1}=2 I_{N-1}-L_{N-1}$ であるから、

$$\mu_n:=2-\lambda_n =2-4\sin^2\frac{n\pi h}{2}=2\left(1-2\sin^2\frac{n\pi h}{2}\right) =2\cos n\pi h$$

とおくと、

$$J_{N-1}\vec v_n =(2I_{N-1}-L_{N-1})\vec v_n =2I_{N-1}\vec v_n-L_{N-1}\vec v_n =2\vec v_n-\lambda_n \vec v_n =(2-\lambda_n)\vec v_n$$

$$=\mu_n\vec v_n \mbox{($n=1,2,\cdots,N-1$)} . \qed$$