3.2 Jordan 標準形を用いた「等比マトリックス列」の解析

(行列の列を「行列列」というのは何か気が引けるので、 マトリックス列ということにする。)

与えられた $A$ に対して、適当な $P\in GL(n;\C)$ が存在して、

$$P^{-1}A P=J$$

となる。ただし $J$ は Jordan 行列である:

$$J = \left( \begin{array}{c\vert c\vert c\vert c} \begin{array}{cc... ...\lambda_r & 1\\ & & & &\lambda_r \end{array}\end{array}\right)$$

$$= J(\lambda_1,n_1)\oplus J(\lambda_2,n_2)\oplus \cdots\oplus J(\lambda_r,n_r).$$

ただし、 $\lambda\in\C$, $n\in \N$ に対して、 $J(\lambda,n)$ を次式で定義する。

$$J(\lambda,n) :=\left( \begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & \big... ... & & \lambda & 1 \\ \bigzerol & & & \lambda \end{array} \right)\in M(n;\C).$$

任意の自然数 $m$ に対して $A^m=P J^m P^{-1}$ であるから、

$$\lim_{m\to\infty}A^m=O\quad\LongIff\quad \lim_{m\to\infty}J^m=O,$$

$$\lim_{m\to\infty}A^m$$   が存在$$\quad\LongIff\quad \lim_{m\to\infty}J^m$$   が存在$$,$$

   $$\mbox{$\{A^m\}_m$ が有界}$$$$\quad\LongIff$$   $$\mbox{$\{J^m\}_m$ が有界}$$

が分かる。さらに

$$J^m= J(\lambda_1,n_1)^m\oplus J(\lambda_2,n_2)^m\oplus \cdots\oplus J(\lambda_r,n_r)^m$$

であるから、$J^m$ を調べるには、 $J(\lambda,n)^m$ を調べればよい。

$m$ に関する数学的帰納法により、容易に

$$J(\lambda,n)^m = \left( \begin{array}{ccccc} \lambda^m & {m\c... ... & {m\choose1}\lambda^{m-1}\\ \bigzerou& & & & \lambda^m \end{array} \right)$$

であることが分かる。

これから容易に¹¹

$$\vert\lambda\vert<1 \quad\LongIff\quad \lim_{m\to\infty}J(\lambda,n)^m=O.$$

ゆえに

$$r(A)<1 \quad \LongIff \quad \lim_{m\to\infty}A^m=O.$$

一方、明らかに

$$\vert\lambda\vert>1\quad\Then\quad \lim_{m\to\infty}\Vert J(\lambda,n)^m\Vert=\infty$$   $$\mbox{(特に $J(\lambda,n)^m$ は収束しない)}$$

であるから、

$$r(A)>1\quad\Then\quad \lim_{m\to\infty}\Vert A^m\Vert=\infty$$   $$\mbox{(特に $A^m$ は収束しない)}$$$$.$$

$\vert\lambda\vert=1$ の場合を考えよう。 $J(\lambda,n)^m$ の対角成分 $\lambda^m$ は有界である。 $J(\lambda,n)^m$ そのものが有界であるためには、$n=1$ が必要十分である。

また $m\to\infty$ のとき $J(\lambda,n)^m$ が収束するためには、 まず対角成分 $\lambda^m$ が収束する必要がある。 そのための条件は $\lambda=1$. そして $J(\lambda,n)^m$ は有界でなければならないから、 上に述べたように $n=1$ が必要である。 逆に $\lambda=1$ かつ $n=1$ であるとき、

$$J(\lambda,n)=J(1,1)=1,\quad J(\lambda,n)^m=1^m=1.$$

これは定数なので、もちろん $m\to\infty$ のとき収束する。 $\qedsymbol$

最小多項式の単根であるとは、 対応する Jordan 細胞のサイズが $1$ (つまりただの複素数) であることに他ならない。