3.1 差分解は「等比ベクトル列」

同次 Dirichlet 境界条件下の熱方程式の初期値境界値問題の $\theta$ 法による差分方程式は、

$$\vec U^n := (U^n_1,\cdots,U^n_{N-1})^T,$$

$$A = A_{N-1}:=(1+2\theta\lambda)I_{N-1}-\theta\lambda J_{N-1},\quad$$

$$B = B_{N-1}:=\left[1-2(1-\theta)\lambda\right]I_{N-1} +(1-\theta)\lambda J_{N-1}$$

とおくと、

$$A \vec U^{n+1}=B \vec U^{n}$$ (4)

と書ける。そこで

$$R=R_{N-1}:=\left(A_{N-1}\right)^{-1} B_{N-1}$$

とおくと、

$$\vec U^{n+1}=R\vec U^{n}.$$ (5)

ゆえに

$$\vec U^{n}=R^n\vec U^{0}.$$ (6)

(6) や (7) は、 実際の計算には役に立たない ($A$, $B$ は疎行列であるので、 連立1次方程式 (5) の解として $\vec U^{n+1}$ を計算するのは非常に効率的にできるのに対して、 $R$ を計算して (これは密行列) それを用いて $\vec U^{n+1}$ を計算するのは非常に非効率的になってしまう)。 しかし、安定性の解析のような理論的な考察には大いに役立つ。