三角関数の計算

桂田 祐史

Date: 2005年7月9日

ハイラー・ワナー [1] を使ったゼミで、 $\sin$, $\cos$ を計算する話が出て来た。

佐々木正敏著『ゆっくり考えよう!    高校総合学習の数学     -- 教育現場からの提案』 (講談社, 2003) でも取り上げられていた話題である。

例えば正五角形の作図法¹からも²分かるように $18^\circ=\frac{\pi}{10}$ の $\sin$, $\cos$ がルート $\sqrt{\quad}$ を使って正確に表すことができる。 一方、$30^\circ$ の $\sin$, $\cos$ は有名なので、 半角の公式から $15^\circ=\frac{\pi}{12}$ の $\sin$, $\cos$ も ルートを使って正確に表すことができる。 後は加法定理を使って $18^\circ-15^\circ=3^\circ =\frac{\pi}{60}$ の $\sin$, $\cos$ もルートを使って正確に表すことができる。 したがって、ルートの計算さえできれば $\sin$, $\cos$ の値が計算できる。

以上述べたストーリーにそって計算しよう。

$$\sin 18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4} = 0.30901\;69943\;74947\;42410\;22934\;17182\;81905\;88601\;54589\;90288\cdots,$$

$$\cos 18^\circ=\frac{\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}{2} = 0.95105\;65162\;95153\;57211\;64393\;33379\;38214\;34056\;98634\;12575\cdots,$$

$$\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = 0.25881\;90451\;02520\;76234\;88988\;37624\;04832\;83490\;68901\;31993\cdots,$$

$$\cos 15^\circ=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = 0.96592\;58262\;89068\;28674\;97431\;99728\;89736\;76339\;04839\;00840\cdots.$$

ここまではルートを用いて表示しても比較的シンプルであるが ³、 $3^\circ$ に対する三角関数は相当複雑になる⁴。

$$\sin 3^\circ = \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right) -2\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16}$$

$$= 0.05233\;59562\;42943\;83272\;21186\;29609\;07841\;87310\;18253\;94016\cdots,$$

$$\cos 3^\circ = \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right) +2\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16}$$

$$= 0.99862\;95347\;54573\;87378\;44920\;58439\;43658\;05909\;52290\;76778\cdots$$

ここまで来ると、 $\sin 2^\circ$, $\cos 2^\circ$, $\sin 1^\circ$, $\cos 1^\circ$ が計算したくなるが、 正多角形の定規とコンパスによる作図の理論から、 これらはルート $\sqrt{\quad}$ を使うだけでは表現できないことが (現代の我々にとっては明解に) 分かる。

もちろん、 半角の公式を使って、半分の角度の $\sin$, $\cos$ を求めることは簡単である。

$$\sin 1.5^\circ = 0.02617\;69483\;07873\;15261\;06116\;85554\;11266\;37933\;91027\;68010\cdots,$$

$$\cos 1.5^\circ = 0.99965\;73249\;75557\;28003\;67608\;88367\;67987\;59498\;75971\;24107\cdots,$$

$$\sin 0.75^\circ = 0.01308\;95955\;71344\;44019\;02842\;09702\;85220\;90185\;60558\;53053\cdots,$$

$$\cos 0.75^\circ = 0.99991\;43275\;74007\;03224\;89220\;47454\;88405\;35790\;69030\;03766\cdots.$$

$\sin$ に注目すると、 一段前の角のときの $\sin$ のほぼ半分になっていることが見て取れる。 $x\kinji 0$ のとき $\sin x\kinji x$ であるから、 これは自然なことである。 これから、 $\sin 1^\circ\kinji\sin 0.75^\circ\times \frac{4}{3}$ という 近似が考えられる。 試してみたのが次の結果である (正しい桁を赤字で示した)。

$$\sin 1^\circ \kinji \sin 0.75^\circ\times \frac{4}{3}$$

$$= \color{red} 0.01745\;2\color{black}7940\;95125\;92025\;37122\;79603\;80294\;53580\cdots$$

$$\sin 1^\circ = 0.01745\;24064\;37283\;51281\;94189\;78516\;31619\;24722\;52720\;30713\cdots$$

ところで、 もしも円周率 $\pi$ が精密に求まっているのならば、 $\sin x\kinji x$ という素朴な近似で

$$\sin 1^\circ = \sin \frac{\pi}{180}\kinji \frac{\pi}{180}$$

$$= \color{red} 0.01745\color{black} \;32925\;19943\;29576\;92369\;07684\;88612\;71344\;28718\;88541\cdots$$

が得られる。 なおこの程度の精度を得るためには、 円周率の近似値としては良く知られている $\pi\kinji 3.1416$ くらいで十分である。 実際

$$\frac{3.1416}{180}=\color{red}0.01745\color{black}33333\cdots.$$

ちなみに $x=\pi/180$ とするとき、

$$x-\frac{x^3}{3!} = \color{red} 0.01745\;24064\color{black}\;23787\;59447\;12209\;18992\;75457\;98837\;65646\;60350\cdots,$$

$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} = \color{red}0.01745\;24064\;37283\color{black} \;61070\;28534\;69098\;68449\;39365\;82463\;57262\cdots$$

$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} = \color{red} 0.01745\;24064\;37283\;51281\;9\color{black}0048\;52921\;40839\;85769\; 02441\;53112\cdots,$$

$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!} = \color{red} 0.01745\;24064\;37283\;51281\;94189\;7\color{black}9663\;13413\;06454\;31891\;11881\cdots$$