例: ルートの計算

ルート機能がないが、メモリー機能はある電卓で、 与えられた正数 $a$ のルートを計算するにはどうすればよいか？ まあ、Newton 法でしょうね。つまり漸化式

$$x_{n+1}=x_n-\left(\frac{x_n^2-a}{2x_n}\right)$$   整理して$$\quad x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$$

で数列 $\{x_n\}$ を生成すると (初期値 $x_1$ は例えば $x_1=1$ でよい)、 $x_n$ は急速に $\sqrt{a}$ に収束するので、 適当なところで反復を止めればよい、ということである⁶。 電卓では次の手順で操作すればよい。

(i)

適当な初期値 ($1$ でもよい) を入力し、 , でメモリーに記憶する。

(ii)

$a$ $2$ で次の値が求まる。, でメモリーに記憶する。 十分な精度になるまでこの (ii) を繰り返す。

$a=2$ の場合に、初期値を $1$ として、8桁の電卓で実行したところ、 順に $1.5$, $1.416666666$, $1.414215686$, $1.414213562$ が得られた。 $\qedsymbol$

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