微積分の演習問題から

次の命題は微積分の演習書によく登場する。

Proof. (、ス、譴覆蠅膨垢

1. (存在) $f(s)=0$ となる $s\in(a,b)$ が存在することは中間値の定理から分かる。
2. (一意性)
   $$f(s_1)=f(s_2)=0,\quad a<s_1<s_2<b$$
   を満たす $s_1$, $s_2$ が存在したと仮定すると、Rolle の定理から
   $$\exists z\in (s_1,s_2)$$   s.t.$$\quad f'(z)=0.$$
   仮定 $f''>0$ から、
   

   $$f'<0 \mbox{($(a,z)$\ 内で)} \quad\therefore f(a)>f(s_1)=0,$$

   $$f'>0 \mbox{($(z,b)$\ 内で)} \quad\therefore f(b)>f(s_2)=0.$$

   
   これは $f(a)f(b)<0$ に反する。 ゆえに $f(s)=0$ となる $s$ は unique である。
3. (Newton 法の収束) 以下、$f(b)>0$ の場合に $x_0=b$ を初期値とする Newton 法が収束すること を示す ($f(a)>0$ の場合も同様にできる)。$f(x)=0$ の unique な解を $s$ と すると、

   $$f(x)>0 \mbox{($x\in (s,b]$)} ,$$ (1.5)

   
   

   $$f'(x)>0 \mbox{($x\in [s,b]$)}$$ (1.6)

   
   
   が成り立つ。

$\qedsymbol$