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1.2.1.0.0.2 (1.6) の証明
まず $ f(s)=0$, $ h>0$ のとき $ f(s+h)>0$ であるから、

$\displaystyle f'(s)=\lim_{h\downto 0}\frac{f(s+h)-f(s)}{h}\ge 0.
$

ところが、もし $ f'(s)=0$ ならば $ f''>0$ より、 $ f'(x)<0$ ($ x\in(a,s)$). ゆえに $ f(a)>f(s)=0$. これは矛盾であるから $ f'(s)\ne 0$. ゆえに $ f'(s)>0$. 仮定 $ f''>0$ から (1.6) が導かれる。 $ \qedsymbol$

 さて、

$\displaystyle x_0=b,\quad x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$

で数列 $ \{x_n\}_{n\in\N}$ を決めようとするわけであるが、 次の不等式が成り立つことが分かれば、 $ \{x_n\}$ は well-defined で、 $ s$ を下界とする単調減少数列であることが分かる。

(1.7) $\displaystyle x\in(s,b]\quad\Then\quad s<x'<x,$   where$\displaystyle \quad x':= x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}.$

ARRAY(0xedc078)


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Masashi Katsurada
平成21年7月9日